师：同学们好，欢迎来到丁老师的数学课堂。今天我们一起来学习第四单元分数的意义和性质的第二课时。课前请同学们准备好学习用品和3张同样大小的圆片，准备好了吗？上节课我们再次认识了分数，对于$\frac{3}{4}$这个分数，我们是怎样理解的呢？
生：$\frac{3}{4}$是把单位“1”平均分成4份，表示这样3份的数。
师：诶，说到平均分，除了分数以外，你还能想到什么？
生：除法。
师：没错，分数是一种数，除法是一种运算，它们都与平均分有关。那么分数与除法又是怎样的关系呢？今天这节课，我们就一起来研究分数与除法的关系。咱们今天的研究从这样一个熟悉的问题开始：把一块饼平均分给4个小朋友，每人分得多少块？同学们可以先自己试一试。好了吗？相信这个问题难不倒大家，下面就让我们一起来分享。
生：我认为每个小朋友可以分到0.25块饼，因为把一块饼平均分给4个小朋友，用除法来表示就是$1÷4 = 0.25$块。
师：这位同学想到了用除法来计算$1÷4$，显然每人分不到一块，所以他用小数来表示分得的结果，这样可以吗？当然可以。咱们继续来看。
生：我觉得每个小朋友可以分到$\frac{1}{4}$块，因为把一块饼平均分给四个小朋友，每个小朋友就能分到一块饼的$\frac{1}{4}$，而一块饼的$\frac{1}{4}$就是$\frac{1}{4}$块。
师：是的，这么一分，每人正好分得了一块饼的$\frac{1}{4}$，一块饼的$\frac{1}{4}$就是$\frac{1}{4}$块。看来对于这个问题，每人分得的结果也就是$1÷4$的商，可以用小数表示，也可以用分数表示。那么如果我们把3块饼平均分给4个小朋友，每人又能分得多少块呢？这个问题，算式该怎样列？
生：同样可以用除法来计算，就是$3÷4$。
师：那么$3$除以$4$的商可不可以用分数来表示呢？如果可以，又会是几分之几呢？同学们可以先猜一猜。有想法了吗？不过学习数学，只有猜想还不行，我们还要能够对自己的猜想进行验证才可以。下面就请同学们用3张圆片代替3块饼，动手分一分、想一想，时间是1分钟，开始吧。
师：好的同学们，丁老师这里收集到了两种不同的方法，咱们一起来看一看。首先来看第一位同学的。
生：我认为每个人可以分得$\frac{3}{4}$块。你们看，我是这么分的，先分第一块，把它平均分成4份，每人可以分得$\frac{1}{4}$块；再分第二块，把它也平均分成4份，每人可以分得$\frac{1}{4}$块；再分最后一块，每人也可以分得$\frac{1}{4}$块。三个$\frac{1}{4}$块就是$\frac{3}{4}$块。所以3块饼平均分给4个小朋友，每人可以分得$\frac{3}{4}$块。
师：看懂了吗？是的，这位同学每次分一块，这样每人就可以分得三个$\frac{1}{4}$块，三个$\frac{1}{4}$块就是$\frac{3}{4}$块。这种方法你们是不是也想到了呢？咱们接着来看第二位同学的。
生：我也认为每个小朋友可以分到$\frac{3}{4}$块。我是把这三块饼合到一块分的，我把这个整体平均分成四份，每一个小朋友就占其中的一份，而这其中的一份也就是三块饼的$\frac{1}{4}$，也就是$\frac{3}{4}$块。
师：同学们有没有发现这种方法和刚才的方法相比有什么不一样的地方？
生：这位同学想到把三块合在一起分，其实就是把三块饼看作单位“1”平均分成四份，这样每人就可以分得三块饼的$\frac{1}{4}$，三块饼的$\frac{1}{4}$，也就是$\frac{3}{4}$块。
师：下面让我们来比较一下，两种方法虽然不同，但显然分得的结果是一样的。其实三块饼的$\frac{1}{4}$，就是一块饼的$\frac{3}{4}$，也就是$\frac{3}{4}$块，所以$3÷4$的商同样可以用分数来表示，$3÷4$就等于$\frac{3}{4}$块。刚才我们是把3块饼平均分给4个小朋友，如果把3块饼平均分给5个小朋友，每人又能分得多少块呢？对于这个问题，你们想不想自己来挑战一下？开始吧。有结果了吗？
生：算式就是$3÷5 = \frac{3}{5}$块。
师：如果你也是这样计算的，那么恭喜你挑战成功。不过咱们数学可是一门讲道理的学科，我们不仅要知道结果，还要能讲明白这其中的道理才可以。$3÷5$为什么等于$\frac{3}{5}$块？你能讲明白这其中的道理吗？试着说一说。
生：根据刚才的经验，有的同学想到了每次分一块，这样每人就可以分得三个$\frac{1}{5}$块，三个$\frac{1}{5}$块就是$\frac{3}{5}$块。也有的同学想到了把3块放在一起分，这样每人就可以分得三块的$\frac{1}{5}$，三块的$\frac{1}{5}$就是$\frac{3}{5}$块。