师：同学们，欢迎来到张老师的数学课堂。今天我们学习小学数学，北京师范大学出版社六年级下册数学第二单元比例的认识的第二课时。请大家准备好钢笔和作业本，准备好了吗？那让我们一起开启今天的数学学习之旅。
首先，请看今天的学习目标：在观察与思考中进一步探究比例中存在的规律。在探究过程中，同学们要能听懂并理解他人的方法，积极表达和交流自己的想法，通过思考和探索提高分析能力与概括能力。
上节课，我们一起学习了比例的认识，知道了比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。还认识了比例的内项和外项。那比例中还有哪些奥秘呢？这节课我们将继续学习。同学们，还记得上节课学习的这几个比例吗？仔细观察，每个比例中数字之间有怎样的关系？看一看，想一想，然后把你的发现用喜欢的方式记录下来，开始吧。
我们一起来看几位同学的探究过程。
生1：12 : 6 = 8 : 4，比的前项分别是12、8，比的后项分别是6、4，可以组成一个新的比例12 : 8 = 6 : 4，好像除了这个也没别的了。
生2：上节课我们学过看两个长方形像不像，可以比较长与长的比，宽与宽的比，也可以分别看各自长与宽的比。
生3：12 : 6 = 8 : 4，两头的数，也就是比例的外项相乘12×4 = 48，两个内项相乘6×8 = 48，是相等的。我是不是发现了什么？我再接着写几个比例看看。6 : 4 = 3 : 2，外项积6×2 = 12，内项积4×3 = 12，相等；3 : 2 = 15 : 10，外项积3×10 = 30，内项积2×15 = 30，也是相等的。
师：通过刚才的探究过程，你有什么样的发现呢？
生：通过刚才我们的探究，发现了在比例里，内项的积与外项的积相等。
师：仅凭这几个比例就能证明规律成立吗？这只是我们的一个猜测。那我们怎么办呢？哪位同学有好办法？
生：再写几个比例来验证一下。
师：很好，我们一起来看这几位同学举的例子。
生4：15 : 12 = 10 : 8，外项的积15×8 = 120，内项的积12×10 = 120，外项的积和内项的积相等。
生5：10000 : 400 = 50 : 2，外项的积是20000，内项的积也是20000，这个比例，外项的积与内项的积还是相等的。
生6：1.5 : 0.5 = 3 : 1，外项的积1.5×1 = 1.5，内项的积0.5×3 = 1.5，内项的积和外项的积相等。我写了一个关于分数的比例，1/3 : 1/9 = 1 : 1/3，两个外项的积1/3×1/3 = 1/9，两个内项的积1/9×1 = 1/9。
师：同学们，通过刚才的验证，你又发现了什么？
生：通过这几位同学举的例子来看，在这些比例里边，两个内项的积与两个外项的积都是相等的。
师：有没有同学，在你写出的比例当中，两个内项的积与两个外项的积是不相等的呢？
生：没有。
师：看来通过验证，发现刚才我们的猜测是正确的。那你能用自己的语言把刚才的发现说一说吗？
生：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。
师：非常棒，同学们真厉害，发现了这么一条重要的规律。其实这个规律在日常生活当中作用特别大，我们一起来看看吧。用你喜欢的方法来解决这道题。我们一起来看一下这位同学的做法。
生7：我是根据比例中内项的积与外项积的关系来解决的。通过观察发现两个外项相乘是24，说明两个内项的积也等于24。我写出了4×6 = 24，3×8 = 24，2.4×10 = 24，还有很多像这样符合要求的算式。
师：再来看一下另一位同学的做法。
生8：我是根据比例的意义来解决的。我首先假设比值都是1，12 : 12 = 1，2 : 2 = 1，所以12 : 12 = 2 : 2。
师：同学们对比一下这两种方法，你发现了什么？
生：第一位同学是根据今天我们研究的比例中内项的积与外项积的关系来解决的。第二位同学是根据比例的意义来解决的，两位同学的方法都特别好。
师：你做对了吗？回顾一下刚才我们的学习过程，我们是如何得到这一个重要规律的呢？
生：我们首先通过观察猜测，接下来举例验证，找到了一个重要的结论。
师：同学们，你能用这个重要的结论来判断下面每组中两个比能否组成比例吗？先想一想，如果你想好了，就在作业本上做一做。我们一起来看一下这位同学的方法。
生9：因为10×1.2 = 12，1.5×8 = 12，内项的积等于外项的积，所以10 : 1.5 = 8 : 1.2。