师：同学们好，今天我们学习北师大版数学七年级下册第五章《生活中的轴对称》第三节《简单的轴对称图形》第一课时。我们先来观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形，能否找出对称轴。好，我们看第一个图形，很显然，不管怎么折叠它都不能重合，所以它不是。第二个图形呢，它可以重合，这样也可以重合，它是轴对称图形。这个图形这样折叠，可以重合。那这个很显然它不能重合。这个图形这样折叠能重合，也可以这样折叠重合，所以它是。这个不行，因为中间有个环形的箭头，一折叠不能重合。这个也不能重合，所以它不是。这个同样不能重合，所以也不是。这里面有三个是轴对称图形，其他的都不是。它们的对称轴刚才老师已经指出，这个可以这样，也可以这样，这个可以这样折叠。下面我们认识一下等腰三角形。老师给出了三种等腰三角形，大家看，第一个等腰三角形三个角都是锐角；这个等腰三角形有一个角是直角；这个等腰三角形有一个角是钝角。所以我们说等腰三角形可以是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形。
看看埃及的金字塔，金字塔的形状就是一个等腰三角形。有两条边相等的三角形就叫等腰三角形。下面我们来认识等腰三角形各部分的组成。两条相等的边，我们叫做腰；第三条边叫底边。两个腰的夹角，我们叫做顶角；腰和底边的夹角，我们叫做底角，它有两个底角，一个顶角，两条相等的边是腰，第三边是底边。同学们一定要记住等腰三角形三边的名称和三个角的名称。因为等腰三角形是特殊的三角形，它具有三角形所有的性质，既然特殊，肯定有自己特殊的性质。这节课我们就来学习等腰三角形的一些性质。我们观察这样一些图片，这是生活中的等腰三角形，数学来源于生活，生活中处处有数学。仔细观察，桥梁的支架、埃菲尔铁塔，都能看到等腰三角形的痕迹。所以学习等腰三角形，对我们认识生活、提高生活质量有帮助。
下面老师提问，等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，找出对称轴。顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？大家注意看顶角的平分线，也就是两个腰的夹角的平分线所在的直线是不是等腰三角形的对称轴。底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？沿对称轴对折，你能发现等腰三角形哪些特征？说说你的理由。总共4个问题，下面我们一起来探讨。
等腰三角形是一种特殊的三角形，除具有一般三角形的性质外，还有一些特殊的性质。刚才老师说了，到底有哪些性质呢？老师准备了一个等腰三角形纸片，大家看老师进行折叠，看它是不是轴对称图形。重合了吗？重合了。我们再打开，观察这条折痕，这条折痕把顶角平分了吗？平分了。它垂直于底边了吗？因为底下是一个平角，一折叠这两个角重合，每个角就是90度，所以它垂直。那么它平分底边了吗？一折叠，这两个边重合，所以这条折痕非常特殊，既平分顶角，又垂直于底边，还平分底边。
那么这两个底角什么关系？大家看，这样一折叠，这两个底角重合了，所以我们得到了等腰三角形的一些性质。它是轴对称图形，而且它的折痕有三条功能，平分顶角、垂直于底边、平分底边，并且它的两个底角相等。通过老师刚才的折叠，我们发现了5个现象。哪五个现象呢？第一个，等腰三角形折叠后是轴对称图形。第二个，两个底角相等，即角B等于角C。第三个，发现角BAD等于角CAD，AD是顶角平分线。还发现角ADB等于角ADC，这两个角的和是180度，又相等，所以每个角都是90度。还发现了BD等于CD，那么就说明AD是底边上的中线。
那么我们能不能把这5个现象用两句话概括呢？下面我们把这些现象归纳一下，数学语言比较精炼，可以用图形、符号，还可以用文字。下面我们用简练的文字语言，把刚才动手发现的现象归纳一下。现象二可以用一句话归纳：等腰三角形两个底角相等。3、4、5这三个现象可以用一句话归纳：等腰三角形顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合，简称“三线合一”。看，我们把图形和符号语言转化成了精炼的数学文字语言，这个需要大家记住，同时脑子里要有对应的图形，还要能把文字语言转化成符号语言。等腰三角形两个底角相等，就是角B等于角C；等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称“三线合一”。转化成符号语言，它有三种情况，也就是说只要知道它平分顶角，对于等腰三角形，那么这条线同时具有垂直于底边且平分底边的功能。那三线到底合一吗？刚才通过演示发现这条线可以平分顶角、垂直于底边、平分底边，它是合一的。这种通过动手操作的推理叫合情推理，大家也看出来了，它是正确的。
但是随着数学学习的深入，我们还要学习一种推理，叫演绎推理，要用符号和图形语言有条理地写出来。老师展示一下，现在不让同学们掌握，但大家要知道，随着学习深入，这是一定要学会的。
好，我们展示一下三线到底合一吗？在三角形ABC中，AD是角平分线，前提是已知它是等腰三角形。角BAD等于角CAD，这是已知的。那么在三角形ABD和三角形ACD中，AB等于AC，这是已知；角BAD等于角CAD，也是已知；AD等于AD，它是公共边。在第四章我们学过两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，即AB等于AC，AD等于AD，它们的夹角角BAD和角CAD相等，根据SAS，两个三角形全等。全等三角形对应边相等，所以BD就等于CD，角ADB就等于角ADC，因为两角和是180度，所以都等于90度。
所以AD这条线不仅是角平分线，还是底边上的中线，还是底边上的高，从而证明了“三线合一”。这是用演绎推理的方式告诉同学们的，随着数学学习的深入，同学们要慢慢掌握。有同学问，如果已知是底边中线，不是角平分线，高满足吗？平分满足吗？如果垂足是BC的中点，随着学习深入也是可以证明的。如果是中点，能满足垂直于BC和平分角BAC吗？也是可以的，课下有兴趣的同学可以模仿老师这种推理方式去挑战一下。已知D是中点，说明BD等于CD，AD是公共边，再加上两腰相等，推理过程就很类似了。如果是高这个条件，要想证明它是三线合一，需要到八年级学习勾股定理以后才能证明。所以随着学习深入，这个推理过程大家一定要掌握，在这里先让大家了解。通过刚才的合情推理和演绎推理，我们得出了等腰三角形的特征。
第一，等腰三角形是轴对称图形。第二，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合，也称“三线合一”，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。第三，等腰三角形两个底角相等。这是等腰三角形经过探讨得出的三条重要性质，希望每位同学都牢牢记住。