师：同学们好，欢迎来到数学课堂。这节课我们学习初中数学北师大版七年级下册第一章第六节完全平方公式第二课时。上节课，我们从数与形两个方面探索并验证了完全平方公式，即((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2)以及((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2)。这节课，我们将深入了解公式的结构特征，并灵活运用它。
下面请同学们看这4个小题，能口答出来吗？
第一小题，((2x + 5y)^2)，它是(2x)与(5y)和的平方，可利用完全平方和公式求解。(2x)对应完全平方和公式中的(a)，(5y)对应公式中的(b)。套用公式并化简可得：((2x)^2 + 2×2x×5y + (5y)^2 = 4x^2 + 20xy + 25y^2)。
第二小题，((\frac{1}{3}m - \frac{1}{2})^2)。它是(\frac{1}{3}m)与(\frac{1}{2})差的平方，可利用完全平方差公式求解。这里的(\frac{1}{3}m)对应完全平方差公式中的(a)，(\frac{1}{2})对应公式中的(b)。带入公式并化简可得：((\frac{1}{3}m)^2 - 2×\frac{1}{3}m×\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{9}m^2 - \frac{1}{3}m + \frac{1}{4})。
第三小题，(( - cd + \frac{1}{2})^2)，我们可以先用加法交换律将(- cd + \frac{1}{2})交换成(\frac{1}{2} - cd)，这样便可以用完全平方差公式求解。其中的(\frac{1}{2})对应完全平方差公式中的(a)，(cd)对应完全平方差公式中的(b)。套用公式并化简，可得：((\frac{1}{2})^2 - 2×\frac{1}{2}×cd + (cd)^2 = \frac{1}{4} - cd + c^2d^2)。当然，对于这个小题，我们也可以直接将其看成是(- cd)与(\frac{1}{2})的和的平方，直接利用完全平方和公式也可以求解。
第四小题，(( - 2t - 1)^2)，我们可以将其看成是(- 2t)与(- 1)的和的平方。那么(- 2t)对应完全平方和公式中的(a)，(- 1)对应完全平方和公式中的(b)。套用完全平方和公式并化简可得：(( - 2t)^2 + 2×( - 2t)×( - 1) + ( - 1)^2 = 4t^2 + 4t + 1)。
我们在运用完全平方公式计算时，一定要先分析公式中的(a)、(b)在这个具体问题中代表什么，再确定符号，即是完全平方和还是完全平方差，从而确定(2ab)前是加还是减，才能准确高效地求出结果。
下面请同学们继续来看第二题。填空：
第一小题，(x^2 + 10x +)什么(=(x + 5)^2)。这是一个等式的填空，我们可以先看等式右边，((x + 5)^2)是(x)与(5)的和的平方。运用完全平方和公式可得(x^2 + 10x + 5^2)，即(25)，所以横线上填(25)。
第二小题，(4a^2 +)多少( + 9b^2 = (2a + 3b)^2)。同样，先从右边看，是(2a)与(3b)和的平方，运用完全平方和公式，可得(4a^2 + 2×2a×3b + 9b^2)，整理得(4a^2 + 12ab + 9b^2)，所以这个横线上填(12ab)。
继续来看第三小题，((3x - )谁()^2 = 9x^2 - 12xy +)谁？与前两个小题不同，这里左式右式都有部分未知。从左边的减号和右边(12xy)前面的减号，我们初步确定它是完全平方差。那么(3x)是公式中的(a)，右边(9x^2)便是公式中的(a^2)。(12xy)便是公式中的(2ab)，因为(a = 3x)，(2ab = 12xy)，可得(2×3x×b = 12xy)，由此得出(b = 2y)，左式中的横线上就填(2y)。右边的横线对应公式中的(b^2)，所以这里应该填((2y)^2)，即(4y^2)。
再看下面这个小题，(()谁( + 2y)^2 = 9x^2 + 12xy +)谁？首先观察左式，(2y)便对应公式中的(b)，所以右边的横线对应(b^2)，即(4y^2)。再看右式中的(9x^2)，它对应的是(a^2)，结合中间(12xy)前面的符号以及(2y)前面的符号，可分析出(a = 3x)，所以左式的横线应该填(3x)。
通过对这几个问题的分析求解，同学们对完全平方公式的结构特征是不是有了更深刻的认识呢？下面请同学们和老师一起巧用完全平方公式解决一些计算问题。想一想，怎样计算(102^2)和(197^2)更简单呢？
首先来看(102^2)，我们不妨将(102)拆成(100 + 2)，即(102^2 = (100 + 2)^2)。这个算式是(100)与(2)的和的平方，符合完全平方和公式的结构特征。直接套用公式，得(100^2 + 2×100×2 + 2^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404)。
再来看看(197^2)，(197)我们可以将它拆成(200 - 3)，也就是将(197^2)转化成((200 - 3)^2)，这是符合完全平方差公式结构特征的形式。直接套用完全平方差公式可得(200^2 - 2×200×3 + 3^2 = 40000 - 1200 + 9 = 38809)。
在刚才这两个问题的求解中，我们利用了构建完全平方公式模型的方法简化了运算。课下同学们可以自己出题加强训练。
好，下面请同学们继续来看例一，计算以下三个小题。
第一小题((x + 3)^2 - x^2)，我们先观察这个算式的特征。前面((x + 3)^2)符合完全平方和公式，我们可以先利用公式将其展开，得(x^2 + 6x + 9 - x^2)，化简得(6x + 9)。还有其他办法吗？我们重新看这个算式，它是平方减平方的形式，会联想到上一节学到的平方差公式。平方差公式右式是(a^2 - b^2)，这一小题我们可以逆向使用平方差公式求解，即((x + 3)^2 - x^2)转化为两数和与两数差的乘积，((x + 3 + x)(x + 3 - x))，合并同类项得(3(2x + 3))，去括号得(6x + 9)。