师：同学们好，欢迎来到数学课堂。今天我们学习初中数学北师大版七年级下册第一章第五节平方差公式第一课时。在上一节，我们学习了多项式乘多项式的法则，即先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。那么，能用这个法则求解下面两个小题吗？
第一小题，((a + b)\times(c + d))。依据法则，先用(a)乘(c)，再用(a)乘(d)，然后用(b)乘(c)，最后将(b)乘(d)所得的结果相加，得到答案是(ac + ad + bc + bd)，一共有(4)项。
第2小题，((a + b)\times(a - 2b))。依据法则，可得(a^{2} - 2ab + ab - 2b^{2})。注意，这里的(-2ab)和(ab)是同类项，合并得(-ab)。所以，第2小题的结果是(a^{2} - ab - 2b^{2})，一共有三项。
接下来，请同学们思考：有没有可能两个二项式相乘的结果是两项呢？带着这个问题，我们来求解下面四个小题。
第一小题，((x + 2)\times(x - 2))。利用多项式的乘法法则可得(x^{2} - 2x + 2x - 4)。这里的(-2x)和(2x)互为相反数，可以抵消，所以结果是(x^{2} - 4)。
同样的，第2小题，((1 + 3a)\times(1 - 3a))，等于(1 - 3a + 3a - 9a^{2})，(-3a)和(3a)抵消，结果是(1 - 9a^{2})。
第3小题，((x + 5y)\times(x - 5y))，等于(x^{2} - 5xy + 5xy - 25y^{2})，(-5xy)与(5xy)抵消，结果是(x^{2} - 25y^{2})。
第4小题，((2y + z)\times(2y - z))，等于(4y^{2} - 2yz + 2yz - z^{2})，(-2yz)与(2yz)抵消，结果是(4y^{2} - z^{2})。
通过这4个小题的运算，同学们有什么新发现吗？是不是每个小题最后的结果都只有两项？我们接下来就要对这一类特殊的多项式与多项式的乘法进行探索研究。
把这四个小题放到一起看，先看等式左边，它们的共同特征是都是两数和与两数差的乘积。再看右边的结果，都是这两数平方的差。结合它们之间的关系，我们是不是可以得到这样一个猜想：两数和与两数差的乘积等于这两数平方的差。这个猜想对吗？怎么证明呢？
首先，把这个等式数学化。还记得七年级上册字母表示数那一节吗？可以用字母表示任何一个数。所以，我们不妨用(a)、(b)这两个字母来表示这两数，两数和表示为(a + b)，两数差表示为(a - b)，两数平方的差表示为(a^{2} - b^{2})。那么这个猜想就可以用符号表示为((a + b)\times(a - b) = a^{2} - b^{2})。接下来，验证这个等式是否成立。
从左边看，((a + b)\times(a - b))是多项式与多项式的乘法运算。利用多项式的乘法法则可得(a^{2} - ab + ab - b^{2})，这里的(-ab)与(ab)相互抵消，结果是(a^{2} - b^{2})，和猜想中的右式相同，说明这个等式是正确的。这个等式就是我们今天学习的重点——平方差公式。它也可以用文字语言描述为：两数和与这两数差的乘积等于它们的平方差。
下面，请同学们仔细观察这个平方差公式，说一说它的结构特征。先看左边的算式，它由两个多项式相乘构成，这两个多项式都是二项式。第一个多项式由(a)和(b)两项构成，第二个多项式由(a)和(-b)两项构成。对比两个多项式，会发现它们有一项是相同项，即(a)，另一项(b)和(-b)为相反项。再看右边，是(a^{2} - b^{2})，是平方差，并且一定是用相同项的平方减相反项的平方。
下面，我们一起来运用平方差公式解决一些问题。
例一，利用平方差公式计算：
第一小题，((5 + 6x)\times(5 - 6x))。观察这个算式，是(5)与(6x)的和与差的乘积，符合平方差公式的结构特征，直接套用公式可得(5^{2} - (6x)^{2})，继续化简得(25 - 36x^{2})。
第二小题，((x - 2y)\times(x + 2y))。它是(x)与(2y)的差与和的乘积，符合平方差公式的结构特征，直接套用公式等于(x^{2} - (2y)^{2} = x^{2} - 4y^{2})。
第三小题，请同学们自己分析它的结构特征，它是(-m)与(n)的和与差的乘积，直接套用公式等于((-m)^{2} - n^{2})，继续化简得(m^{2} - n^{2})。
利用平方差公式解决了这三个小题后，对平方差公式的运用是不是有了初步了解？
例二，利用平方差公式计算：
第一小题，((-\frac{1}{4}x - y)\times(-\frac{1}{4}x + y))。显然它是(-\frac{1}{4}x)与(y)这两项的差与和的乘积，可以利用平方差公式求解，等于((-\frac{1}{4}x)^{2} - y^{2} = \frac{1}{16}x^{2} - y^{2})。
第2小题，((ab + 8)\times(ab - 8))，它是(ab)与(8)的和与差的乘积，直接套用公式等于((ab)^{2} - 8^{2})，继续化简得(a^{2}b^{2} - 64)。