师：同学们好，今天我们学习初中数学，北京师范大学出版社七年级下册第四章三角形第五节——利用三角形全等测距离。前面我们已经学习了全等三角形的性质及判定方法，现在我们共同回忆一下：两个全等三角形有哪些性质？
生：一、全等三角形的对应边相等；二、全等三角形的对应角相等。
师：我们已经学过了哪几种判定两个三角形全等的方法？
生：1. SSS（三边分别相等的两个三角形全等）；2. ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）；3. AAS（两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等）；4. SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）。
师：学习三角形全等有什么作用呢？今天我们就来研究利用三角形全等来解决生活中的问题。请同学们先听一个故事。
在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日本碉堡，需要测出我军阵地到碉堡的距离。由于没有任何测量工具，八路军战士为此绞尽脑汁。这时，一位聪明的八路军战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功。
同学们，你想知道这位聪明的战士用的什么办法解决这个问题吗？请继续听故事。这位聪明的八路军战士的方法如下：战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部。然后他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上，接着他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离。
你能解释其中的道理吗？现在我们就共同来分析一下战士所讲述的方法中已知条件是什么。战士的身高 AD 是不变的，战士与地面是垂直的，即 AD 垂直于 BD，AD 垂直于 CD 。并且通过帽檐形成的视角∠DAB 等于∠DAC 。战士要测的是敌碉堡 B 与我军阵地 D 的距离，战士的结论是，只要按要求测得 DC 的长度即可，即 BD 等于 DC 。同学们，你知道为什么 BD 等于 DC 吗？这就要利用我们的全等三角形的知识。
解：在△ADB 与△ADC 中，∠1 = ∠2，AD = AD，∠ADB = ∠ADC = 90°，所以△ADB ≌△ADC（ASA），所以 DB = DC（全等三角形的对应边相等）。聪明的战士利用全等三角形的知识，把不方便测量的距离转化为可以测量的距离，解决了这个问题。这也说明我们平时遇到困难时不要畏惧，动动脑筋总能想出解决问题的办法。下面我们再看一个故事。
1805 年，拿破仑率领大军与德俄联军在莱因河畔激战。德俄联军在北岸设防，而法军在南岸。拿破仑通过帽檐测出河的宽度，然后下令根据量得的距离确定射击目标。炮弹像长了眼睛，每发都击中目标，士兵很佩服拿破仑运用数学知识的能力。如图是他的测量示意图，你知道他是怎么做的吗？
聪明的拿破仑站在南岸的点 O 处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营壕沟处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点 O 处，让士兵丈量他所站的位置 B 与 O 点间的距离，并下令按这个距离炮轰敌营。你能说明其中的道理吗？
我们可以看出，拿破仑的视角没有发生改变，也就是说∠BIO = ∠POQ 。拿破仑与地面是垂直站立的，所以∠IBO = ∠POQ = 90°，拿破仑的身高也没有发生改变，即 IB = PO 。所以△IBO ≌△POQ（ASA），所以 BO = OQ 。拿破仑也是利用三角形全等的知识，把不可测量的河的宽度测量出来了。
现在我们通过一个例题，看看大家能不能利用三角形全等的知识解决这个问题。
例：小明在上周末游览风景区时，看到了一个很美的池塘，他想知道最远两点 A、B 之间的距离。但是他没有船，不能直接去测，手里只有一根绳子和一把尺子，他怎样才能测出 AB 之间的距离呢？你能帮助他吗？请同学们思考一下，说出你的设计方案，并且用所学知识说明你设计方案的理由是什么。
师：好，请同学们看一下老师的设计方案。
方案一：先在地上取一个可以直接到达点 A 和 B 的点 C ，连接 AC 并延长到 D ，使 AC = CD ，连接 BC 并延长到 E ，使 CE = CB 。连接 DE ，并测量出它的长度，测得的 DE 的长度就是 AB 间的距离。你能说出它的道理吗？
解：在△CED 与△CBA 中，CE = CB，∠ECD = ∠BCA（对顶角相等），CD = CA，所以△CDE ≌△CAB（SAS），所以 DE = AB（全等三角形的对应边相等）。这个方案我们主要通过延长法，延长 AC 到 D ，使 AC = CD ，延长 BC 到 E ，使 BC = CE ，构造全等三角形。
方案二：在 AB 的垂线 BF 上取两点 C、D ，使 CD = BC ，再过 D 点作 BF 的垂线 DG ，并在 DG 上找一点 E ，使 A、C、E 在一条直线上，这时测得的 DE 长就是 AB 间的距离。这个道理又是什么呢？
解：在△ACB 和△ECD 中，∠ACB = ∠ECD（对顶角相等），BC = DC，∠ABC = ∠EDC = 90°，所以△ABC ≌△EDC（ASA），所以 AB = ED 。这一题，我们主要是利用作垂直的方法构造全等三角形，解决了这个问题。
方案三：如图，先做△ABD ，再找一点 C ，使 BC 平行于 AD ，并使 AD = BC ，连接 CD ，量 CD 的长，即得 AB 的长。
解：因为 AD 平行于 BC ，所以∠1 = ∠2（两直线平行，内错角相等）。在△ABD 与△CDB 中，AD = CB，∠1 = ∠2，BD = DB（公共边），所以△ABD ≌△CDB（SAS），所以 AB = CD 。这个方案我们主要是通过平行来构造三角形全等。
方案四：如图找一点 D ，使 AD 垂直于 BD ，延长 AD 到 C ，使 CD = AD ，连接 BC ，量 BC 的长即得 AB 的长。
解：在 Rt△ADB 与 Rt△CDB 中，BD = BD（公共边），∠ADB = ∠CDB = 90°，AD = CD（已知），所以△ADB ≌△CDB（SAS），所以 AB = BC 。这题也是通过作垂直构造全等三角形解决的问题。