师：好，同学们上午好，下面开始我们今天的数学之旅。前面我们学习了整式的加减，想必同学们一定好奇整式的乘除该如何进行，这正是本章要研究的问题。今天，我们就一起来探究同底数幂的乘法。首先，我们回顾一下乘方和幂的意义。什么是乘方呢？求(n)个相同因数(a)的积的运算叫做乘方，其中(a)叫做底数，(n)叫做指数。这个式子读作(a)的(n)次方，或者(a)的(n)次幂。乘方运算的结果叫做幂，那么(a)的(n)次方就等于(n)个(a)相乘。
接下来，我们看一个生活中的问题。光在真空中的速度大约是(3×10^8)千米每秒，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要(4.22)年，一年按(3×10^7)秒计算。求比邻星与地球的距离约为多少千米？大家想一想，应该怎样计算呢？要求距离，也就是路程，路程等于速度乘以时间。不过，同学们有没有发现题目条件中有个问题？时间的单位是年，速度单位是千米每秒，单位不统一，该怎么办呢？我们要把单位统一，按照一年(3×10^7)秒这个条件来计算。现在，大家有式子了吗？我们来列一下，速度乘以时间，大家做做看。利用乘法的交换律和结合律，先用(3)乘以(4.22)得(12.66)，然后看(10^8×10^7)怎样算呢？有没有简便方法？这就是今天我们要探究的同底数幂的乘法。同学们先从形式上感受一下，底数都是几？(10)。底数相同，这两个幂是用什么符号连接的？乘号，也就是同底数幂相乘。
这个问题我们先放一放，到本节课后面再一起解决。现在，同学们拿出练习本算一算这三小题。第一题，(10^2×10^3)；第二题，(10^5×10^8)；第三题，(10^m×10^n)。大家利用刚才复习的幂的意义做一下，如果有困难，老师和同学们一起合作探究第二小题。
师：(10^5×10^8)，这一步是根据什么呢？
生：幂的意义。
师：对，我们把(10^5)写成(5)个(10)相乘，(10^8)写成(8)个(10)相乘。继续这样的话，我们根据什么可以写成(13)个(10)相乘呢？
生：乘法结合律。
师：所以再根据什么可以把结果写成(10^{13})呢？
生：幂的意义。
师：第(2)小题我们合作完成了，那第(3)小题老师稍微改一下。把指数(5)改成字母(m)，指数(8)改成字母(n)。这样第一步根据幂的意义，(10^m)应该等于多少个(10)连乘？
生：(m)个(10)。
师：同样的，(10^n)应该等于多少个(10)连乘？
生：(n)个(10)。
师：好，大家跟上，那下一步根据乘法结合律，一共有多少个(10)相乘？
生：((m + n))个。
师：对，((m + n))个(10)，那么根据幂的意义，最终的结果应该是(10^{m + n})。到这，做一做的(3)小题我们完成了，同学们有什么发现吗？我们继续探究。根据刚才的发现，同学们快速算一算这几小题。
师：(2^m×2^n)等于多少？
生：(2^{m + n})。
师：((\frac{1}{7})^m×(\frac{1}{7})^n)呢？
生：((\frac{1}{7})^{m + n})。
师：最后一个(( - 3)^m×( - 3)^n)等于多少？
生：(( - 3)^{m + n})。
师：好，到这大家看一下，如果我把底数也换成字母，从数字换成字母，这个结论是否具有一般性呢？如果(m)、(n)都是正整数，那么(a^m×a^n)等于多少？
生：(a^{m + n})。
师：同学们很多都想到了，和刚才探究的过程一样。首先根据幂的意义，接着乘法结合律，最终应该等于(a^{m + n})。好，大家来试着完成一下这样两个小填空。同底数幂相乘，我们发现底数(a)是怎么样的？
生：底数不变。
师：那么指数呢？(a^m×a^n)，指数是怎样的？
生：指数相加。
师：请同学们把数学书翻到第三页，把最上面蓝色方框的法则画下来，完成两个填空。
完成的同学继续看屏幕，我们一起来观察这个法则。首先看等号左边，也就是使用条件，从运算来讲它是一个什么运算？
生：乘法。
师：接着一个重要前提，底数要怎么样？
生：底数相同。
师：大家看今天的课题，同底数幂的乘法。再看等号右边结果，首先底数(a)怎么样？
生：不变。
师：接着指数是怎样的？
生：指数相加。
师：这就是我们共同探讨得到的同底数幂的乘法法则。在这个法则的探索过程中，我们从一开始数字的表示逐步过渡到用字母表示数，体现了类比的过程，从数字表示转化成字母表示是从特殊到一般的归纳过程。探究过程中我们用到了一些重要的数学思想，从特殊到一般，从数的表示到字母的表示，这是一个归纳过程。还有转化，大家发现了吗？左边是什么运算？
生：乘法。
师：到右边指数是怎样的？
生：相加。
师：这是从什么运算向什么运算的转化？
生：从乘法向加法的转化。
下面看看同学们掌握得怎么样，快速完成这(4)小题。我们一起来口答。第一小题，(7^6×7^4)等于多少？
生：底数(7)不变，指数相加，(7^{10})。
师：第(2)小题呢？
生：底数(a)不变，指数相加，(a^{15})。
师：第(3)小题，先判断是不是同底数，(x)中间乘号，同底数幂相乘，那么结果是？
生：底数(x)不变，指数相加，(x^8)。
师：第(4)小题好像有个小疑惑，哪个同学能告诉我这个(b)，它的指数怎么没写呢？
生：没写指数我们认为是(1)，省略不写。
师：非常好，这样它也符合同底数幂相乘，底数不变，指数相加，等于(b^6)。
接下来(4)小题，请同学们拿出练习本自己先做一下，老师和大家合作完成。第一小题，(( - 3)^7×( - 3)^6)，我们先看是不是符合公式左边，底数(-3)相同，中间乘号。那么结果是？
生：底数不变，指数相加。
师：大家看一下做对了吗？有细心同学发现写成这样是不是可以再简单一些？当然可以。利用负数的奇次幂是负的，我们可以把它写得更简便，负的(3^{13})。按课本来看，今天结果写成这两种形式都是对的，相比来说后一个没有括号，稍微简便一些。
第二小题，((\frac{1}{111})^3×\frac{1}{111})，底数相同，中间乘号，这里(\frac{1}{111})指数是几呢？
生：指数是(1)，省略不写。
师：我们把它写上，这样清楚一些。完成第二道题，结果是？
生：底数不变，指数相加。
师：继续第三小题，(-x^3×x^5)，问同学们一个小问题，这个负号应该怎样处理？
生：这个负号不是底数(x)的符号，是式子整体的符号，照抄。
师：对，我们把负号照抄，后面正好是同底数幂相乘，底数(x)不变，指数相加。
最后一题，先看底数都是(b)，底数相同，指数相加。大部分同学跟上老师看一下这(4)小题。结合这(4)小题，老师给大家提个建议。大家看，从这(4)小题来看，底数(a)的含义非常广泛，它既可以是一个数字，也可以是一个字母，可以是一个单项式，甚至在后面课后习题中还可能出现多项式。大家对字母(a)的理解要好好感受一下。接着两个小细节，老师提醒一下，当底数是负数或者分数时，书写要把它用括号括起来，这是个好习惯。最后像第(3)小题这样，负号没有用括号括起来，我们的处理方式是照抄，因为它是式子整体的符号，不要丢掉。