师：同学们好，今天我们一起来学习七年级数学第六章第三节实数。七年级上册时，我们学过有理数，有理数包括整数和分数。老师给出5个分数，大家把它们改成小数形式，试试看。2/5写成0.4；负3/5写成 -0.6；27/4写成6.75；11/9写成1.22循环；9/11写成0.8181循环。在改写过程中，大家发现了什么？
生：有的分数能改成有限小数，像0.4、 -0.6、6.75；有的是无限循环小数，像1.22循环、0.8181循环。
师：非常好。那是不是每一个分数都能写成小数形式呢？老师再写个数22/7，大家和老师一起来改写。经过改写，我们发现22/7等于3.142857142857，这里出现了6个循环节。同学们计算时要有耐心，这也说明这样的分数能改成无限循环小数。如果把有理数中的整数看成小数点后是0的小数，比如3看成3.0，6看成6.0，我们会发现，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数，反过来，任何一个有限小数或无限循环小数也都是有理数。那么，是不是所有的小数都是有理数呢？我们一起来复习下小学学的小数。小数可分成有限小数和无限小数，无限小数又分为无限循环小数和无限不循环小数。刚才探究发现，有限小数和无限循环小数都是有理数，那无限不循环小数呢？大家想想，我们见过吗？
生：圆周率π，它就是无限不循环小数。
师：没错，还有其他的吗？学习算数平方根时，我们知道根号2也是无限不循环小数；学习立方根时，5的立方根也是。还有像1.010010001（两个1之间依次多一个0），也是无限不循环小数。我们把这些无限不循环小数叫做无理数。无理数可不要小看，它引发了第一次数学危机，在数学史上具有里程碑作用。尽管它的引入充满曲折，但也体现了人们追求真理时不懈努力的精神。下面老师把一些有理数和无理数混在一起，大家试试看能不能分清。例一，在下列数中，哪些是有理数，哪些是无理数？15/7，分数，属于有理数；3.14，有限小数，不是π，所以是有理数；0，整数，当然是有理数；根号9，9的算术平方根是3，所以根号9是有理数；π，无限不循环小数，是无理数；根号5，5的算术平方根，开方开不尽，是无理数；0.1010010001……这样的数，属于无限不循环小数，是无理数；三分之π，从形式看像分数，但π是无理数，所以三分之π也是无理数。在刚才分类中，大家尤其要注意几点，比如根号9和根号5的区别，虽然都有根号，但不能仅看根号判断是否为无理数，要看能否开方开得尽；像0.1010010001……这样的数，可看成构造型无限不循环小数，看似有规律，实则不符合循环规律，属于无理数；还有三分之π，形式上像有理数，因π是无理数，所以它还是无理数。大家分对了吗？无理数还有其他类型，以后学习会逐步接触。认识正有理数和0后，加入负有理数，数系扩充到有理数；接着认识了无理数。无理数和有理数一样，有正负之分，无理数分为正无理数和负无理数。有理数和无理数统称为实数，数系从有理数扩充到实数范围。从小数角度看，有理数指有限小数和无限循环小数，无理数指无限不循环小数。一个非0的有理数和无理数都有正负之分，对于实数，能否从性质符号上来划分呢？我们试试。
生：从性质符号划分，实数包括正实数、0和负实数。正实数包括正有理数、正无理数，正有理数又分为正整数和正分数；负实数包括负有理数和负无理数，负有理数包括负整数和负分数。
师：非常好，这两种分类方法，无论选哪种，都要记得不重不漏。接下来，我们把下列实数分别填到相应集合内。 -3.6，有限小数，属于有理数和负实数；根号27，27的算术平方根，属于无理数；根号4，4的算术平方根是2，是有理数；整数5，是有理数；三次根号下 -7， -7的立方根，开方开不尽，属于无理数，也属于负实数；0，整数，属于有理数；二分之π，因为π是无理数，所以二分之π也是无理数；三次根号下125的相反数，三次根号下125是5，它的相反数是 -5，属于整数、负实数和有理数；22/7，分数，属于有理数；3.14，有限小数，不等于π，是有理数；0.1010010001……这样的构造型无限不循环小数，属于无理数。大家分对了吗？进行实数分类时，一定要搞清楚有理数、无理数、整数、负实数这些概念之间的关系，做到不重复、不遗漏。大家还记得吗，学习有理数时，任何一个有理数都能在数轴上找到对应点，现在学了无理数，老师想问，无理数能在数轴上找到对应点吗？大家试一试，能在数轴上找到表示无理数根号2的点吗？想一想，我们怎么找根号2的？它表示边长为1的正方形的对角线。现在要在数轴上找到根号2，怎样把这条对角线长度移到数轴上呢？