师：同学们，大家好。上一节课我们学习了平方根，大家还记得什么是平方根吗？如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，也叫二次方根。也就是说，若(x2 = a)，则(x)叫做(a)的平方根。那(a)的平方根该如何表示呢？我们把(a)的平方根记为(\pm\sqrt{a})。平方根又有什么性质呢？我们探究得出：正数有两个平方根，它们互为相反数；(0)的平方根是(0)；负数没有平方根。因为负数没有平方根，所以(\pm\sqrt{a})中的被开方数(a)需要大于等于(0)。
下面我们梳理一下平方根的学习路径：首先学习了平方根的定义，接着介绍了平方根的表示方法，之后探究了平方根的性质，最后运用这些知识解决问题。这种从定义到表示方法，再到性质，最后运用的学习方法，也是我们学习这类知识的一般方法。下面我们走进新课。
大家看这样一个问题：要制作一种容积为(27)立方米的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少呢？我们先考虑正方体的体积与棱长的关系，不难得出正方体的体积等于棱长的立方。在这个问题中，我们把正方体形状包装箱的容积默认为正方体的体积。所以，如果设这个包装箱的棱长为(x)米，可以得到什么等式呢？对，(x3 = 27)，这不是我们熟悉的方程，大家能求出(x)的值吗？我们可以换个思路，根据计算经验，(33 = 27)，因为(33 = 27)，所以(x = 3)，即包装箱的棱长为(3)米。
如果把问题改一下，正方体形状包装的容积变为(5)立方米，棱长又是多少呢？棱长的立方等于(5)。如果正方体形状包装的容积为(a)，棱长的立方就等于(a)。
在这两个问题中，棱长的立方分别为(5)和(a)，怎么求出棱长呢？棱长又可以叫做(5)或(a)的什么数呢？这就是我们这节课要学习的立方根。同学们可以类比平方根的定义，给出立方根的定义吗？
生：一般地，如果一个数的立方等于(a)，那么这个数就叫做(a)的立方根，也叫三次方根。即若(x3 = a)，则(x)叫做(a)的立方根。例如，因为(33 = 27)，所以(27)的立方根是(3)。
师：非常好。那同学们想一想，(a)的立方根该怎么表示呢？
生：我们把数(a)的立方根记为(\sqrt[3]{a})。其中(3)是根指数，(a)是被开方数，读作“三次根号(a)”。这里的根指数(3)不能省略，而平方根中的根指数(2)通常省略不写。在刚才的例子中，(27)的立方根是(3)，用符号简记为(\sqrt[3]{27} = 3)。
师：没错。类似开平方运算，求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，就像开平方和平方互为逆运算一样。下面我们利用开立方与立方互为逆运算求下列各数的立方根。第一题，(-27)，谁的立方是(-27)呢？
生：(-3)，因为(( - 3)3 = - 27)，所以(-27)的立方根是(-3)，用符号简记为(\sqrt[3]{ - 27} = - 3)。
师：很好。第二题，(\frac{1}{8})。
生：(\frac{1}{2})的立方等于(\frac{1}{8})，所以(\frac{1}{8})的立方根是(\frac{1}{2})，记为(\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2})。
师：下面根据立方根的意义填空。因为(23 = 8)，所以(8)的立方根是(2)。谁的立方是(0.064)呢？
生：(0.4)，因为(0.43 = 0.064)，所以(0.064)的立方根是(0.4)。
师：因为(03 = 0)，所以(0)的立方根是？
生：(0)。
师：因为(( - 2)3 = - 8)，所以(-8)的立方根是？
生：(-2)。
师：因为(( - \frac{2}{3})3 = - \frac{8}{27})，所以(-\frac{8}{27})的立方根是？
生：(-\frac{2}{3})。
师：同学们观察一下，我们求出了哪些数的立方根？可以看出有(8)、(0.064)这样的正数，有(-8)、(-\frac{8}{27})这样的负数，还有(0)。那你们能发现正数、(0)和负数的立方根各有什么特点吗？
生：无论是正数、(0)还是负数，它们都只有一个立方根，而且正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，(0)的立方根是(0)。
师：非常棒。正因为正数、负数、(0)都有立方根，所以(\sqrt[3]{a})中的被开方数(a)可以取任何数。
下面我们继续探究，比较下面两种计算结果。先看第一个，(\sqrt[3]{ - 8})它表示什么含义呢？
生：它表示(-8)的立方根，所以等于(-2)。
师：那(-\sqrt[3]{8})呢，括号在三次根号外面，它表示什么？
生：它表示(\sqrt[3]{8})的相反数，也就是(8)的立方根的相反数。因为(8)的立方根是(2)，所以(-\sqrt[3]{8} = - 2)。
师：从计算结果来看，我们可以得出(\sqrt[3]{ - 8} = -\sqrt[3]{8})。第二题，(\sqrt[3]{ - 27})等于？
生：(-3)。
师：(-\sqrt[3]{27})呢？
生：(-\sqrt[3]{27})表示(27)的立方根的相反数，等于(-3)，所以(\sqrt[3]{ - 27} = -\sqrt[3]{27})。
师：同学们，你们能举出一些像这样的例子吗？
生：(\sqrt[3]{ - 1} = -\sqrt[3]{1})，(\sqrt[3]{ - 125} = -\sqrt[3]{125})。