师：同学们，大家好。今天这节课我们要学习初中数学人民教育出版社七年级下册第八章二元一次方程组小结部分的第二课时。上节课，我们已经复习了二元一次方程组的概念及其解法，并用其知识解决了一些问题。这节课，我们将继续复习实际问题与二元一次方程组。
首先，请同学们看这样一个案例：小珍在儿童节前用16元恰好买了单价为1元和2元的两种贺卡，共12张。试问两种贺卡各能买几张呢？请同学们用二元一次方程组的知识快速求解这道题。
相信认真思考的同学都已经有答案了，下面我们一起来看。通过审题，我们发现本题涉及的数量关系是单价×数量 = 总价。相等关系有两个：一是小珍的总花费为16元，二是贺卡总数为12张。题目让我们求两种贺卡的数量，所以设两种贺卡分别买了x张和y张。依据相等关系列出方程组：由总花费为16元，可得x + 2y = 16；由贺卡总数为12张，可得x + y = 12。
解这个方程组，老师解得x = 8，y = 4。同学们，你们也是这个答案吗？怎么知道自己计算没有错误呢？对，检验一下就知道了。将所求的值代入方程组中，发现它满足两个方程，说明我们的计算没有错误。这个结果符合本题实际情形吗？我们发现所求的值表示两种贺卡的张数，8和4都是正整数，所以符合实际情形。因此，我们答：两种贺卡分别买了8张和4张。
好了，这道题做完了，请同学们回顾一下刚才的解题过程，认真想一想我们是如何求解的，具体步骤是什么呢？
下面我们一起总结一下：对于一个实际问题，我们首先通过设未知数列方程组，将实际问题转化为数学问题，也就是二元一次方程组的问题；然后解方程组得到数学问题的解，在解方程组过程中，需适当选择代入消元法还是加减消元法；最后通过检验得到实际问题的答案。具体步骤是：
第一步，审。通过审题，弄清题目中的数量关系，找出两个相等关系。
第二步，设未知数。
第三步，列方程组。在列方程组过程中，要用含未知数的式子表示有关的量，并依据相等关系列出方程组。
第四步，解方程组，求出未知数的值。
第五步，验。检验求得的值是否正确，是否符合实际情形。
最后一步，答。写出实际问题的答案，一共6步。
那么在用这些步骤解题过程中，有什么方法和技巧呢？下面我们一起来看。列二元一次方程组解应用题与列一元一次方程解应用题的基本思想是一样的，关键是分析题中各种数量之间的关系，找出相等关系。一般可直接设未知数，即求什么就设什么，但直接设未知数有困难时，我们需要寻找发现隐含未知数。设几个未知数就要找出几个相等关系，然后列出方程组。
下面就用我们总结的方法和步骤来看第一道例题。
例一：AB两地相距36千米，甲从A地出发布行到B地，乙从B地出发步行到A地。两人同时出发，4小时相遇，6小时后，甲所余路程为乙所余路程的两倍，求两人的速度。请同学们想一想本题的数量关系是什么，再去找一找两个相等关系又是什么，试着画一画，用线段图表示本题的意思。
相信同学们都已经有答案了，下面我们一起来看。通过审题，我们发现本题的数量关系为路程 = 速度×时间。这是老师画的线段图：甲乙相向而行，全程36千米。两人同时出发，4小时相遇，说明4小时的时间，甲乙的路程之和等于36千米，这样我们就得到了第一个相等关系。6小时后，甲所余的路程为乙所余路程的两倍，这是第二个相等关系。题目让我们求两人的速度，所以设甲乙的速度分别为x千米/小时，y千米/小时。
依据相等关系列方程组：由4小时甲乙的路程之和为36千米，可得4x + 4y = 36；由6小时后甲所余路程为36 - 6x，乙所余路程为36 - 6y，且甲所余路程为乙所余路程的两倍，可得36 - 6x = 2×(36 - 6y)，得到这样的方程组。
接下来解方程组，老师解得x = 4，y = 5。
接下来我们要进行检验，将所求的值代入方程组中，发现它满足两个方程，所以我们的计算没有错误。所求的值符合本题实际情形吗？我们所求的值表示两人的速度，没有出现负数情况，所以符合实际情形。最后答：甲、乙的速度分别为4千米/小时、5千米/小时。这是实际问题中的行程问题。
有了刚才的解题经验，请同学们完成练习一。
相信同学们都已经完成了，下面我们来听一听这位同学是怎么做的。
生：通过审题，我发现本题涉及的数量关系是路程 = 速度×时间。我又通过画线段图找到了两个相等关系，第一个相等关系式是6秒的时间，甲比乙多跑了9米；第二个相等关系式是甲跑16秒的路程等于乙跑19秒的路程。题目让我们求甲乙的速度，所以我设甲乙的速度分别为x米/秒、y米/秒。由第一个相等关系6秒的时间甲比乙多跑了9米，可得6x - 6y = 9；由第二个相等关系甲跑16秒的路程等于乙跑19秒的路程，可得16x = 19y，从而得到方程组。
在草稿纸上，我求出了方程组的解为x = 9.5，y = 8。接下来我进行了检验，以免自己计算错误。将所求的值代入方程组中，发现它满足两个方程，说明我的计算没有错误。另外，所求的值表示速度，没有出现负数情况，说明符合实际情形。所以我求的解就是这个实际问题的解。最后我进行了作答，甲的速度是9.5米/秒，乙的速度是8米/秒。
师：真是个爱思考的孩子，回答得真棒。这位同学通过画线段图，形象刻画了题目的意思，从而顺利解出了此题。下面我们来看下一道例题。
例2：某工厂去年的利润（总产值 - 总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元。问去年的总产值、总支出各是多少万元呢？请同学们想一想本题涉及的数量关系是什么，再去找一找两个相等关系又是什么，设出未知数以后，可否画出表格来帮助我们梳理数据呢？
相信同学们都已经有答案了，下面我们一起来看。通过审题发现本题涉及的数量关系是利润 = 总产值 - 总支出。相等关系有两个，分别是去年的利润为200万元，今年的利润为780万元。题目让我们求总支出、总产值各是多少万元，所以设去年的总产值为x万元，总支出为y万元。由于数据比较多，老师列出了表格方便查看。