师：各位同学，大家好。在上一节课中，我们首先对第五章进行了知识梳理，接着围绕相交线的相关内容展开复习与小结。今天这节课，我们将围绕平行线的内容展开整理。在这部分，我们学习了平行公理、平行线的判定定理和性质定理，以及平移的相关知识。下面，我们先来看第一个知识点——平行公理。同学们通过观察和作图得出这样一个基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。由平行公理，我们进一步得出平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即若直线a平行于b，a平行于c，那么b平行于c，这就是平行线的传递性。
接着，我们学习了平行线的判定，即由角的关系得出平行，简单来说就是同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。反过来，也可以由两条直线平行得出角的关系，即两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
好，根据以上知识点，我们来看今天的第一道练习题：若角1等于角2，则下列4个图形中，能判定AB平行于CD的是哪个呢？请同学们仔细观察这四幅图，给出答案。
生：（思考、观察）
师：好，在这四幅图中，我们首先排除掉B选项和D选项，此时角1和角2并不符合我们三线八角中同位角、内错角、同旁内角的概念。我们再来看A选项，角1与角2是由这两条直线被这条蓝色的线所截形成的一对同位角，当角1和角2相等时，我们可以得出直线AD平行于BC，并不符合我们的要求。我们再来看C选项，此时角1和角2是由直线AB、CD被直线AD所截形成的一对同位角，由同位角相等，我们可以得出AB平行于CD，所以这道题选择C。
在这题当中，我们复习了平行线的判定定理。我们再来看第二道题：如图，AB平行于CD，CB平分角ABD，若角C等于40度，则角D的度数为多少度呢？同学们，你们可以利用平行线的性质定理算出答案吗？
生：（思考、计算）
师：好，由题目中AB平行于CD，我们可以得出角C等于角ABC，都等于40度，这是因为两直线平行，内错角相等。再根据题目中CB平分角ABD，得出角ABC等于角CBD，都等于40度。最后再次利用直线AB平行于CD，我们就能得出角D加上角ABD等于180度，因为两直线平行，同旁内角互补，这样就能算出角D等于100度。同学们，你们算出来了吗？
我们再来看第三道题：如图，点D、F分别是BC、AB上的点，DF平行于AC，角FDE等于角A。求证DE平行于AB。刚才两道题，我们分别复习了平行线的判定定理和平行线的性质定理，那么这道题是它们的综合应用。
由题目中DF平行于AC，我们可以得出角FDE等于角DEC，因为两直线平行，内错角相等。再根据题目中角FDE等于角A，我们进一步得出角DEC等于角A，这是等量代换。此时这一对角刚好是由直线AB、ED被直线AC所截的一对同位角，所以我们可以判断出直线AB平行于DE。
当然，这一题的证法并不唯一，同学们也可以试着给出其他证明过程。
我们再来看第二小题，若角AED比角BFD大40度，求角BFD的度数。在上一节课当中，我们给大家复习了如何借助方程来求角度，那么这道题我们怎么样利用方程呢？
生：（思考）
师：好，首先我们借助条件中DF平行于AC得出角BFD等于角A。再由第一题的结论DE平行于AB得出角A加上角AED等于180度，找到这三个角之间的数量关系。再利用条件中角AED比角BFD大40度，我们可以设角BFD为x度，角AED为（40 + x）度，这样上式中角A就等于x度，角AED为（40 + x）度，得到这样的一元一次方程，通过解方程我们就可以算出x = 70，即角BFD等于70度。
在这章中同学们除了要掌握用方程的方法来求角度，还要掌握一些常见的添加辅助线的方法。比如例4，AB平行于CD，点P为AB、CD之外一点，试探究以下各图中角B、角C、角P之间的数量关系，我们该如何添加辅助线呢？同学们请试一试吧。
生：（思考、尝试）
师：好，我相信同学们已经找到了。我们可以过P点作直线AB的一条平行线。由于AB平行于CD，利用平行线的传递性，我们发现图中这三条直线互相平行。再因为平行线的性质定理，我们可以得出角B等于角1，角2等于角C。再结合图形，我们就可以得出角B + 角C等于角BPC。
好，如果我们改变P点的位置，如图2，同学们，你们还能找到这三个角之间的数量关系吗？
生：（思考）
师：是的，同样的，我们也可以过P点做直线AB的一条平行线，如图所示，那么此时角B + 角1 = 180°，角2 + 角C = 180°，我们就可以轻松地找到角B + 角C + 角BPC = 360度，找到这三个角之间的数量关系。
最后我们来看图3。此时我们将P点移到直线AB的上方，你还能找到这三个角之间的数量关系吗？
生：（思考）
师：有了刚才两题的成功经验，我们还是过P点做直线AB的一条平行线。因为PQ平行于AB，请同学们观察图形，我们就可以得出角1 + 角B = 180度。再因为PQ平行于CD，我们可以进一步得出角2 + 角C = 180度，从而得到这样的一个等式，角1 + 角B = 角2 + 角C。我们不妨把角1移到等式的右侧去，所以角B = 角2 - 角1 + 角C。再结合图形，我们发现角2 - 角1就等于角BPC，从而得到等式角B = 角BPC + 角C。
同学们，你们做出来了吗？好，我们来总结一下这道题。在这题当中，这三个图形不同，但是我们都添加了同样的辅助线，过P点做直线AB的平行线构造三平行。这种添加辅助线的方法在这章当中非常的常见。那么除此之外，还有没有其他的常见添加辅助线的方法呢？我们来看下一道题。