师：同学们，大家好，今天我们继续学习第九章第一节——探索不等式的性质。细心的同学可能已经发现，在前面的探究过程中，我们大多数是以含大于号、小于号的不等式为例。那么，含大于或等于号、小于或等于号的不等式是否也满足这些性质呢？让我们一起来寻找答案。
先来看看下面的图片，其中隐藏着哪些不等关系？大家能找出来吗？图一中限速30，这就是一个不等关系。如果设汽车的速度为v千米每小时，那么v小于或等于30。图2中温度为4 - 6摄氏度，这同样是一个不等关系。设温度为t，那么4小于或等于t小于或等于6。这里，符号大于或等于读作“大于或等于”，也可以说是“不小于”；符号小于或等于读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”。不等式x大于或等于a，表示x大于a或x等于a（a为常数）；不等式x小于或等于a，表示x小于a或x等于a（a为常数）。
大家还记得如何用数轴来表示不等式吗？这是不等式x大于a和x小于a的数轴表示。那么，能用数轴来表示x大于或等于a、x小于或等于a吗？x大于或等于a比x大于a的取值范围多了一个数a，因此我们将数轴上表示a的空心圆圈换成实心圆点，以此来表示a在取值范围内，开口方向向右保持不变。同样的方法，对于不等式x小于或等于a，它所表示的取值范围比x小于a多了一个数a，所以我们也将数轴中表示a的空心圆圈换成实心圆点，并且开口方向向左。
在用数轴表示不等式的时候，要注意“两定”：一是定边界，如果边界a不在取值范围内，我们用空心圆圈表示；如果a在取值范围内，那么表示边界的点应该用实心圆点。二是定方向，如果取值范围内包含的是大于a的数，那么开口方向向右；如果取值范围内包含的是小于a的数，那么开口方向向左。
下面，让我们通过例一检验一下是否掌握了这些知识。例一：根据下列语句列出的不等式，错误的是哪一项？
A选项，x的3倍与1的和是正数，表示为3x + 1大于0，这个表示是正确的。
B选项，m的1/5与n的1/3的差是非负数，表示为1/5m - 1/3n大于或等于0，这个表示也没有问题。
C选项，x与y的和不大于a的1/2，表示为x + y小于或等于1/2a，这个表示同样没问题。
D选项，a、b两数的和的3倍不小于这两数的积，表示为3a + b大于或等于ab，对吗？“不小于”用大于或等于号表示没问题，但不等式中3a + b表示的是a的3倍与b的和，并非a、b两数和的3倍。所以正确的表示应该是3(a + b)大于或等于ab，因此这道题应选D。
在上一节课中，我们学习了不等式的三条性质。不难发现，如果把其中的大于号、小于号换成大于或等于号、小于或等于号，这些性质依然成立。
不等式的性质一：如果a大于或等于b，那么a + c大于或等于b + c。
不等式的性质二：如果a大于或等于b，且c大于0，那么a乘以c大于或等于b乘以c，a/c大于或等于b/c。
不等式的性质三：如果a大于或等于b，c小于0，那么a乘以c小于或等于b乘以c，a/c小于或等于b/c。
让我们利用这些性质来解决下面的问题，看例2。利用不等式的性质解下列不等式，并用数轴表示不等式的解集。
第一小题，x - 7大于26。根据不等式的性质一，在不等式两边同加上7，不等号方向不变，可得x大于33。用数轴表示这个解集，首先在数轴上找到33所对应的点，这个点用空心圆圈表示，开口方向向右。
第二小题，3x小于2x + 1。利用不等式性质一，在不等式两边同减2x，可得x小于1。在数轴上找到1所对应的点，用空心圆圈表示，开口向左。
第三小题，2/3x大于50。利用不等式的性质二，在不等式两边同乘以3/2，得x大于75。在数轴上找到75所对应的点，用空心圆圈表示，开口方向向右。
第四小题， - 4x大于3。利用不等式的性质三，在不等式两边同除以 - 4，注意 - 4是负数，不等号方向要改变，得到x小于 - 3/4。在数轴上找到 - 3/4所对应的点，用空心圆圈表示，开口方向向左。
第五小题， - 1/2x大于或等于 - 2。利用不等式的性质三，在不等式两边同乘以 - 2，不等号方向改变，可得x小于或等于4。这时用小于或等于号表示，所以数轴上4所对应的点用实心圆点表示，开口方向向左。
第六小题，2x + 5大于或等于5x - 4。首先利用不等式性质一，在不等式两边同减5x，可得 - 3x + 5大于或等于 - 4。再利用不等式性质一，在不等式两边同减5，可得 - 3x大于等于 - 9。最后利用不等式性质三，在不等式两边同除以 - 3，可得x小于或等于3。数轴上3所对应的点应该用实心圆点表示，开口方向向左。
接下来解决一个实际问题，看例3。某长方形状的容器，长5厘米，宽3厘米，高10厘米，容器内原有水的高度为3厘米。现准备向它继续注水，用v表示新注入水的体积，写出v的取值范围（v的单位是立方厘米）。
我们发现新注入水的体积与原有水的体积的和不能超过容器的容积，即v + 3×5×3小于或等于3×5×10，计算可得v小于或等于105。又因为新注入水的体积v不能是负数，所以v的取值范围是v大于或等于0，并且v小于或等于105，也可表示为0小于或等于v小于或等于105。
能在数轴上表示出v的取值范围吗？因为取值范围内包含了0和105，所以数轴上0和105所对应的点用实心圆点表示。取值范围内包含大于0的数，所以在边界0处开口向右；取值范围内包含比105小的数，所以在边界点105处开口向左。
学到这，大家是不是跃跃欲试，想看看自己掌握了多少？快拿出纸和笔练一练。
一、利用不等式的性质解下列不等式，并用数轴表示解集。
第一小题，x + 5大于 - 1。利用不等式的性质一，可得x大于 - 6。在数轴上表示x大于 - 6，先找到 - 6所对应的点，用空心圆圈表示，开口方向向右。
第二小题，4x小于3x - 5。利用不等式性质一，可得x小于 - 5。在数轴上找到 - 5所对应的点，用空心圆圈表示，开口向左。