师：同学们，大家好。昨天我们初步了解了不等式的相关概念，今天我们将探索不等式的性质。在学习过程中，我们会用类比方程的方法来研究不等式的性质。现在，请同学们回忆一下等式的性质有哪些？
等式的性质一：等式两边加或减同一个数或式子，结果仍相等。用符号语言表示为：如果(a = b)，那么(a ± c = b ± c)。
等式的性质二：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为(0)的数，结果仍相等。用符号语言表示为：如果(a = b)，那么(ac = bc)；如果(a = b)且(c ≠ 0)，那么(\frac{a}{c} = \frac{b}{c})。
那不等式的性质和等式的性质一样吗？会不会有什么不同？我们通过几组具体数值来研究一下。用大于号和小于号填空，并总结其中的规律。
已知(5 > 3)，(5 + 2)和(3 + 2)的大小关系是什么样的？
生：(5 + 2 > 3 + 2)。
师：(5 - 2)和(3 - 2)的大小关系呢？
生：(5 - 2 > 3 - 2)。
师：第二组，已知(-1 < 3)，(-1 + 2)和(3 + 2)之间的关系呢？
生：(-1 + 2 < 3 + 2)。
师：(-1 - 3)和(3 - 3)呢？
生：(-1 - 3 < 3 - 3)。
师：第三组，已知(6 > 2)，比较(6×5)和(2×5)的大小关系。
生：(30 > 10)，所以(6×5 > 2×5)。
师：(6×(-5))和(2×(-5))的大小关系呢？
生：因为(-30 < -10)，所以(6×(-5) < 2×(-5))。
师：第四组，已知(-2 < 3)，(-2×6)和(3×6)之间大小关系如何？
生：(-2×6 = -12)，(3×6 = 18)，所以这里应填小于号。
师：(-2×(-6))和(3×(-6))呢？
生：(12 > -18)，所以这里应填大于号。
师：让我们来看这四组式子，在第一组和第二组中，我们在第一个不等式两边同加或同减一个数，发现不等号方向没有改变。而在第三组和第四组式子中，我们在不等式两边同乘一个数，这时不等号方向有时不变，有时改变。是什么原因使得不等号方向发生变化呢？
生：所乘的乘数的正负影响了不等号的方向。
师：非常好。那同学们能仿照等式的性质总结一下不等式的性质吗？
不等式的性质一：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号方向不变。用符号语言记为：如果(a > b)，那么(a ± c > b ± c)。可以发现，不等式的性质一和等式的性质一基本相似。
那不等式的性质二是不是也和等式的性质二一样呢？当然不一样。我们在刚才的探究中发现，在不等式两边所乘的数为正数或负数时，不等号方向有所不同。所以，我们总结不等式的性质时要分开叙述。
不等式的性质二：不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变。用符号语言记为：如果(a > b)，(c > 0)，那么(ac > bc)或(\frac{a}{c} > \frac{b}{c})。
当不等式两边所乘的数为负数时，不等式的性质该如何描述呢？
不等式的性质三：不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变。用符号语言记为：如果(a > b)，(c < 0)，那么(ac < bc)或(\frac{a}{c} < \frac{b}{c})。
请同学们在后面应用时一定要注意，当不等式两边同乘以一个数，一定要仔细分辨乘数的正负，以确定不等号方向是否改变。
下面我们通过几个例题进一步熟悉不等式的性质。
例一，设(a > b)，用小于号或大于号填空。
在不等式两边同加上(2)，根据不等式的性质一，不等号方向不变，所以应填什么符号？
生：大于号。
在不等式(a + b)两边同减去(3)，同样根据不等式的性质一，不等号方向不变，应填什么符号？
生：大于号。
比较(-4a)和(-4b)的大小，这与(a > b)相比，是在不等式两边同乘以(-4)，要注意所乘的数(-4)是负数，根据不等式的性质三，不等号方向应发生变化，所以应填什么符号？
生：小于号。
在不等式(a + b)两边同除以(2)，也可认为是同乘(\frac{1}{2})，所乘的数为正数，根据不等式的性质二，不等号方向不变，应填什么符号？
生：大于号。
师：接下来看例(2)。若由(x < y)，可以得到(a2x < a2y)，则下面四个选项中，哪一个是正确的？
选项(a)，当(a > 0)时，(a2)是正数。根据不等式的性质二，在(x < y)两边同乘(a2)，可以得到(a2x < a2y)，那这道题是不是就选(a)呢？
生：不对，因为当(a < 0)时，(a2)也是正数，依然满足题目条件。
师：再看(c)选项，当(a ≠ 0)时，由前面选项(a)和(b)可知，(a)为正数或负数都能使题意满足。在实数范围内只剩下(0)了，当(a = 0)时，在不等式两边同乘(0)，不等式就变成等式(0 = 0)，不满足题意，所以这道题的选项应该是什么？
生：(c)。
师：来看例(3)，关于(x)的不等式((1 - a)x < 3)的解集为(x > \frac{3}{1 - a})，则(a)的取值范围是？
观察((1 - a)x < 3)和(x > \frac{3}{1 - a})这两个不等式，发现不等式两边同除以(1 - a)，同时不等号方向发生了改变，为什么不等号方向会改变呢？
生：根据不等式的性质三，当不等式两边同除以一个负数，不等号方向就会改变，这意味着(1 - a)是负数，即(1 - a < 0)，可推出(a > 1)。
师：所以这道题的正确选项应该是(b)。
师：好，再看最后一个例题，利用不等式的性质，将下列不等式转化为(x > a)或(x < a)的形式，其中(a)为常数。
(10x - 1 > 9x)，与题目要求的表达形式有什么不同？
生：目标是不等号左边不含有常数。
师：所以我们可以利用不等式的性质一，在不等式两边同加上(1)，此时不等号方向不变，得到什么？
生：(10x > 9x + 1)。
师：同时，根据目标条件，我们也希望不等号右边不出现含有未知数的项，所以继续利用不等式性质一，在不等式两边同减去(9x)，得到什么？
生：(x > 1)，符合(x > a)的形式。
师：那来看第二题(5 - 6x > 2)。首先利用不等式的性质一，在不等式两边同减去(5)，不等号方向不变，得到什么？
生：(-6x > -3)。
师：接下来需要在不等式两边同乘以(-\frac{1}{6})，注意(-\frac{1}{6})是负数，依据的是不等式性质三，此时不等号方向将发生变化，得到什么？
生：(x < \frac{1}{2})。
师：相信通过这些例题，大家对不等式的性质有了进一步了解，下面请大家试一试。
说出下列不等式的变形是根据不等式的哪一条性质。
由(\frac{1}{2}x > -3)，得(x > -6)，这是在不等式两边同乘以(2)得到的，依据的是什么性质？
生：不等式的性质二。
由(3 + x < 5)，得(x < 2)，这是在第一个不等式两边同减去(3)，依据的是什么性质？
生：不等式的性质一。
由(-x > 1)，得(x < -1)，这是在不等式两边同乘以(-1)，不等号方向发生改变，依据的是什么性质？
生：不等式的性质三。
师：相信同学们都答对了，接下来攻克第二关。指出下列各式成立的条件。
由(mx < n)得到(x < \frac{n}{m})，发现当不等式两边同乘以(\frac{1}{m})时，不等号方向没有改变，根据不等式的性质二，此时(\frac{1}{m})应该是什么数？
生：正数，所以(m > 0)。
由(a < b)得到(ma > mb)，此时在(a < b)两边同乘以(m)，不等号方向发生了改变，根据不等式的性质三，(m)的值应为？
生：负数，所以(m < 0)。
由(3x > 4y)得(3x - m > 4y - m)，这是在不等式两边同减去(m)，根据不等式的性质一，在两边同加或减去一个数时，不等号方向始终不变，所以这里对(m)的值有要求吗？
生：没有要求，(m)为任意实数。
师：好，接着闯第三关。已知(m < n)，则下列不等式一定成立的是？
a选项，由(m < n)，在不等式两边同乘以(-1)，得到(-m > -n)，再在不等式两边同加上(3)，不等号方向不变，此时(3 - m)和(3 - n)的大小关系是？
生：(3 - m > 3 - n)，所以(a)选项错误。
b选项，在原来不等式(m < n)两边同乘((c - 1)2)，b选项中不等号方向改变了，((c - 1)2)表示什么数？
生：非负数，即((c - 1)2)可以为正数，也可以为(0)。如果是正数，原来不等号方向不变；如果为(0)，就不能用不等号连接，而应该是相等，所以(b)选项错误。
c选项，由(m < n)可知(m - n < 0)，那么它的相反数呢？
生：大于(0)，所以正确选项是(c)。
d选项为什么是错的呢？注意，b选项和d选项有所不同，d选项两边所乘式子为(c2 + 1)，它表示什么数？
生：一定是正数，在不等式两边同乘正数，不等号方向应该不变，所以(d)选项错误。
这道题一定成立的式子就是(c)选项。
师：恭喜同学们闯过了三关，接下来挑战第四关，利用不等式的性质，将下列不等式转化为(x > a)或(x < a)的形式，其中(a)为常数。
同学们思考得怎么样了？来看第一题，首先利用不等式的性质一，在不等式两边同减去(3)，不等号方向不变，得到什么？
生：(-\frac{x}{5} > -1)。
师：接着在不等式两边同乘以(-5)，利用不等式的性质三，得到什么？
生：(x < 5)。
师：对于第二题，在不等式(3x + 5 < \frac{1}{2}x)两边，利用不等式性质一，同减去(\frac{1}{2}x)，不等号方向不变，得到什么？
生：(\frac{5}{2}x + 5 < 0)。
师：再利用不等式的性质一，在不等式两边同减去(5)，得到什么？
生：(\frac{5}{2}x < -5)。
师：接下来在不等式两边同乘以(\frac{2}{5})，此时所乘的数为正数，依据不等式性质二，得到什么？
生：(x < -2)。
师：相信通过这些练习，大家进一步理解了不等式的性质。我们再来了解一下不等式的其他性质。等式具有对称性和传递性，不等式是否也有类似性质呢？
生：不等式同样具有对称性，若(a > b)，则(b < a)；还具有传递性，若(a > b)，(b > c)，则(a > c)。
师：另外，在前面学习中，我们还遇到过一些其他有关不等式的性质。若(\vert a \vert > \vert b \vert)，则(a2 > b2)，反之也成立；若(a > b \geq 0)，则(\sqrt{a} > \sqrt{b})，同样反之也成立。
除了这些性质，我们再看一个题目。阅读下面解题过程，再解题。已知(a > b)，试比较(-2020a + 1)与(-2020b + 1)的大小。
解：因为(a > b)，所以(-2020a > -2020b)，故(-2020a + 1 > -2020b + 1)。
在上述解题过程中，从第几步开始出现错误？
生：第一步就错了，从(a > b)到(-2020a > -2020b)，是在不等式两边同乘以(-2020)，这是负数，不等号方向应该改变，而这里依然是大于号。
师：错误原因就是当两边同乘以(-2020)时，不等号方向没有改变。后面同学们做题一定要注意常数的正负。
下面写出这道题的正确解题过程。
因为(a > b)，所以(-2020a < -2020b)，故(-2020a + 1 < -2020b + 1)。
除了这种方法，还有没有其他方法比较(-2020a + 1)和(-2020b + 1)的大小呢？
生：上学期学过求差法。
师：什么是求差法？一起来回忆一下。若(a - b > 0)，则(a > b)；若(a - b = 0)，则(a = b)；若(a - b < 0)，则(a < b)，这就是求差法的依据。以前我们可能不太理解，现在学习了不等式的性质，能进一步验证为什么这些依据成立。利用不等式的性质一，对(a - b > 0)两边同加上(b)，就得到(a > b)。下面的结论同理可得。
我们用求差法来解决下面这个问题。某工厂要制作一产品，现在有两种用料方案。方案一：用(4)块(A)型钢板，(8)块(B)型钢板；方案二：用(3)块(A)型钢板，(9)块(B)型钢板。(A)型钢板的面积比(B)型钢板大，从省料角度考虑应选哪种方案？
要确定使用哪种方案，首先要将两个比较对象数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象大小。设(A)型钢板和(B)型钢板的面积分别为(x)和(y)，根据题意(x > y)，两种方案用料面积分别为(4x + 8y)和(3x + 9y)。对两个用料面积求差，((4x + 8y) - (3x + 9y))得什么？
生：(x - y)。
师：因为(x > y)，所以(x - y)的正负性是？
生：(x - y > 0)。
师：所以应选择哪种方案更省料？
生：方案二。
师：今天我们通过数值探究、类比方程的性质，学习了解了不等式的性质。一起回顾一下本节课内容。
不等式的性质一共有三条。不等式的性质一：在不等式两边加或减同一个数，不等号方向不变；不等式的性质二：在不等式两边同乘以或除以正数时，不等号方向不变；当所乘或除的数变为负数时，不等号方向要发生改变，这就是不等式的性质三。再次提醒大家，如果(a > b)且(c < 0)，那么(ac < bc)；如果所除的数为负数，那么(\frac{a}{c} < \frac{b}{c})。
相信通过今天的学习，大家对不等式的性质已经有了相当的了解。今天的作业……好了，今天的课就到这里，同学们，再见。