师：同学们，大家好。今天我们来学习第八章第四节——三元一次方程组的解法。之前我们学习了二元一次方程组的解法，大家回忆一下，我们是如何解二元一次方程组的呢？
生：通过代入法、加减法将二元一次方程组进行消元，转化为一元一次方程，进而求出方程组的解。
师：非常好。在生活中，有些含有两个未知数的问题，我们都可以列二元一次方程组来解决。实际上，还有不少问题含有更多的未知数。来看下面这个问题：小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍。求1元、2元、5元的纸币各多少张？
大家很自然会想到设1元、2元、5元的纸币分别有x张、y张和z张，那么这三个未知数之间存在哪些相等关系呢？
生：1元纸币的数量加2元纸币的数量加5元纸币的数量等于12；1元纸币的数量乘1加2元纸币的数量乘2加5元纸币的数量乘5等于22；1元纸币的数量等于2元纸币的数量乘4。
师：没错，根据这三个相等关系，我们可以列出相对应的三个方程：x + y + z = 12，x + 2y + 5z = 22，x = 4y 。由于这个问题的解必须满足上述三个条件，所以我们把这三个方程合在一起写成方程组的形式。大家观察这个方程组，类比前面所学知识，能给它起个名称吗？
生：方程组中含有3个未知数，每个方程中含未知数的项次数都是1，并且一共有三个方程，应该叫三元一次方程组。
师：非常棒，像这样的方程组就叫做三元一次方程组。知道了概念，那该如何解这样的三元一次方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组？我们观察这个方程组，发现方程x = 4y是用含有y的式子表示x 。仿照前面学的代入消元法，可以将方程x = 4y代入方程x + y + z = 12和x + 2y + 5z = 22，消去未知数x，得到一个关于y和z的二元一次方程组，从而实现消元。来看解题过程：把x = 4y代入x + y + z = 12 ，得5y + z = 12，记作方程4；代入x + 2y + 5z = 22，得6y + 5z = 22，记作方程5。方程4与方程5组成方程组：(\begin{cases}5y + z = 12 \ 6y + 5z = 22\end{cases})。下面解这个二元一次方程组，由方程4×5 - 方程5得19y = 38，解得y = 2。再将y = 2代入方程4，得z = 2，把y = 2代入x = 4y得x = 8。所以方程组的解为x = 8，y = 2，z = 2。
实际问题最后要作答，1元、2元、5元的纸币分别有8张、2张和2张。回顾刚才解三元一次方程组的过程，大家能总结出解三元一次方程组的基本思路吗？
生：通过代入或加减进行消元，把三元化为二元，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。
师：对，这与前面解二元一次方程组的思路是一样的。下面通过例题再来巩固三元一次方程组的解法。解三元一次方程组(\begin{cases}3x + 4z = 7 \ 2x + 3y + z = 9 \ 5x - 9y + 7z = 8\end{cases}) 。
大家一起来分析这个问题，观察方程组，发现方程3x + 4z = 7只含有x、z两个未知数。所以我们可以由方程2x + 3y + z = 9、5x - 9y + 7z = 8消去未知数y，得到一个只含有x、z的方程，再与方程3x + 4z = 7组成一个二元一次方程组，从而实现三元到二元的转化。来看具体解题过程：方程2x + 3y + z = 9×3 + 方程5x - 9y + 7z = 8得11x + 10z = 35，记作方程4。方程3x + 4z = 7与方程4组成方程组(\begin{cases}3x + 4z = 7 \ 11x + 10z = 35\end{cases})。解这个方程组得x = 5，z = -2。再将x = 5，z = -2代入方程2x + 3y + z = 9，得y = (\frac{1}{3}) 。所以三元一次方程组的解为x = 5，y = (\frac{1}{3}) ，z = -2。
大家听懂了吗？对于这个三元一次方程组，还有其他解法吗？大家再试试，并与这种解法比较。
一般来说，当方程组中某个方程只含有两个未知数时，就可以对另两个方程进行消去缺少的未知数，这样能简化解三元一次方程组的过程。为了让大家更好地理解和巩固本节课内容，下面来看几个练习。
一、解三元一次方程组(\begin{cases}3x - y + z = 4 \ 2x + 3y - z = 12 \ x + y + z = 6\end{cases}) ，大家拿出草稿纸做一做。
大家求出方程组的解了吗？一起来看，观察方程组发现每个方程都含有3个未知数，再观察同一未知数的系数，发现未知数z的系数较为简单，分别是1、 -1和1。所以可以确定首先消元的目标是未知数z。由方程3x - y + z = 4 + 方程2x + 3y - z = 12得5x + 2y = 16，记作方程5；由方程2x + 3y - z = 12 + 方程x + y + z = 6得3x + 4y = 18，记作方程4。方程4与方程5组成方程组(\begin{cases}5x + 2y = 16 \ 3x + 4y = 18\end{cases})。解这个方程组得x = 2，y = 3。再将x = 2，y = 3代入方程x + y + z = 6得z = 1。所以三元一次方程组的解为x = 2，y = 3，z = 1。对于这类方程组，应该先观察同一未知数系数的特点来确定首先消元的目标，然后再两两组合，从而实现消元。