师：大家好，欢迎来到数学课堂。上一节课，我们初步研究了利用方程组解决实际问题。这节课我们继续深入探究。在此之前，先复习下列方程组解决实际问题的一般步骤，大家还记得那7步吗？给大家2秒钟思考。好，它们分别是审、设、找、列、解、检验、答，大家记住了吗？今天我们从探究2开始。
探究2是个几何问题，题目是这样的：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量比是1 : 2 。现有一块长200米、宽100米的长方形土地，要将其分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量比是3 : 4 ？这是纯文字描述，首先我们要把这个实际问题转化成数学问题。
已知有长方形ABCD，长AB和CD为200米，宽AD和BC为100米，将长方形ABCD分割为两个小长方形，分别种植甲、乙两种作物，且甲、乙单位面积产量比是1 : 2 ，目的是让两种作物总产量比为3 : 4 。
这里实际研究的是长方形的面积分割问题，把一个长方形分成两个小长方形，有哪些分割方式呢？我们通过画示意图分析。第一种是竖着画，把长分成两段，宽不变；第二种是横着画，把宽分成两段，长不变。
先看第一种竖着画的情况，如果这样分，设EF这条线段左边是一个长方形，右边是一个长方形，这里能找到哪些等量关系呢？第一，大长方形的长不变，依然是200米，分割后DF与FC的和就是200米，不妨设DF为x，FC为y 。第二个等量关系，这道题最终目的是使两种作物产量比为3 : 4 ，所以第二个等量关系是甲、乙两种作物的总产量比为3 : 4 。
我们设DF也就是AE为x米，BE为y米，马上能得到方程x + y = 200 。第二个等量关系稍复杂，总产量等于单位面积产量乘面积，甲、乙单位面积产量比是1 : 2 ，先求两种作物面积，长方形AEFD面积为100x ，长方形EFCD面积为100y 。再算总产量，甲种作物产量为100x×1 ，乙种作物产量为100y×2 ，因为产量比为3 : 4 ，所以列方程为100x : 200y = 3 : 4 。
完整解题过程如下：过点E作EF垂直AB交CD于点F ，设AE = x米，BE = y米。根据题意列出方程组：
[
\begin{cases}
x + y = 200 \
\frac{100x}{200y} = \frac{3}{4}
\end{cases}
]
解得x = 120 ，y = 80 ，也就是AE这一段是120米，BE这一段是80米。
该如何答题比较完整呢？答：过长方形土地的长边上离一端120米处，做这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物。这里要解释下，因为x = 120 ，它可以是从A端点测量120米，也可以从B端点测量120米，所以这样表述。
这是第一种竖着画的情况，第二种横着画，把宽分成两段，长不变。有了前面经验，我们做得快些。过点E作EF垂直AD交BC于点F ，设DE = x米，CE = y米，那么甲种作物面积是200x ，乙种作物面积是200y 。因为宽分成两段，长不变，所以x + y = 100 。甲、乙单位面积产量比是1 : 2 ，甲种作物产量为200x×1 ，乙种作物产量为200y×2 ，产量比为3 : 4 ，列出方程组：
[
\begin{cases}
x + y = 100 \
\frac{200x}{400y} = \frac{3}{4}
\end{cases}
]
解得x = 60 ，y = 40 。
又该如何作答呢？答：将这块土地分为长200米、宽60米和长200米、宽40米的两个小长方形，分别种植甲、乙两种作物。大家可以把两种情况的答做下比较。
对于几何问题，我们小结一下：用二元一次方程组解几何问题时，要根据几何图形的性质、公式，结合图形中反映的数量关系建立二元一次方程组。比如正方形边长都相等，长方形对边相等，这是几何性质；公式可能是周长或面积计算公式；图形中反映的数量关系也很重要，这样就能方便建立方程组。
接下来做道几何问题练习：小明拼图时，8个一样大小的长方形，如图1恰好拼成一个大长方形。小红尝试后，拼成如图2的正方形，但中间留下边长为3厘米的小正方形。问小长方形的长和宽分别是多少厘米？
题目未知量很清楚，就是小长方形的长和宽。假设小长方形的长和宽分别是x厘米和y厘米。根据图1 ，利用长方形对边相等的性质找等量关系，下面的长可表示为3个小长方形的长，即3x ，上面的长可表示为5个小长方形的宽，即5y ，所以3x = 5y 。
再看小红拼的图2 ，抓住中间留下边长为3厘米小正方形这个关键，观察图形可得：小长方形的长x加上小正方形边长3 ，恰好等于两个小长方形的宽，即x + 3 = 2y 。这样就列出方程组：