师：亲爱的同学们，上午好。上节课我们学习了平行线的性质，大家还记得平行线有哪些性质吗？请大声说出来。
生：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
师：很好，通过直线的平行关系能得到这些角的数量关系。反过来，之前我们也学过利用角的数量关系判定两条直线互相平行。请大家一起回忆一下平行线的判定定理。
生：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
师：同学们，我们来看看平行线的性质和判定有哪些联系与区别呢？可以发现，平行线的性质是由直线的位置关系得到角的数量关系，而平行线的判定是由角的数量关系得到直线的位置关系，两者的条件与结论恰好相反。用一句话概括就是：知平行用性质，证平行用判定。好了，复习完平行线的性质和判定，接下来请同学们完成两道练习。
（同学们完成练习后）
师：大家都填好了吗？我们一起来看第一题。在本题中，平行线AB、CD被AE所截，角1与角2是一对内错角，角1与角3是一对同位角，角1与角4是一对同旁内角。利用平行线的性质可知，角2 = 角1 = 110度，角3 = 角1 = 110度，角4与角1互为补角，所以角4 = 70度。大家都填对了吗？我们继续看第二题。
师：同学们，我们一起来看这道题。在本题中，没有平行线这个条件，但我们发现图中的角C和角D是由AD、BC被CD所截得到的一对同旁内角，已知角D = 70度，角C = 110度，由此可知角D与角C互补。根据平行线的判定——同旁内角互补，两直线平行，我们可以证得AD平行于BC。我们还看到，角1与角B是由AD、BC被BE所截得到的一对同位角，刚才已证明AD平行于BC，根据平行线的性质——两直线平行，同位角相等，可得角B = 角1 = 69度。大家也是这样想的吗？
师：在刚才这两个问题中，例1用平行线的三个性质解决了问题，例2既考察了平行线的性质，也考察了平行线的判定。实际上，平行线的性质和判定的综合应用是本章重点内容。在本章，我们不仅要学会利用它们进行推理、判断、分析问题，还要学会说理，也就是用严谨的数学语言表述逻辑推理过程。
师：好，我们来看例1。同学们，认识图中的这个建筑物吗？这是世界著名的意大利比萨斜塔，建于公元173年，是八层圆柱形建筑，全部用白色大理石砌成，塔高54.5米。现在有个问题需要大家解决：目前塔身与地面所成较小的角，即图中的角1 = 85度，那么它与地面所成较大的角，也就是图中的角2是多少度呢？为更好地解决问题，我们把实际图片抽象为几何图形，这是解决实际问题常用的办法。在本题中，根据塔身是圆柱形，可知AB与CD平行，这样实际问题就转化为：已知AB平行于CD，角1 = 85度，求角2的度数。
师：请同学们先思考，平行线AB、CD被AC所截得到的这些角中，角1与角2是同位角吗？是内错角吗？是同旁内角吗？
生：都不是。
师：对，实际上角1与角2没有特殊位置关系。为找到角1和角2之间的联系，我们标记角3、角4。这时会发现角1与角3是一对同位角，角2与角4是一对同位角，角3与角4是一对同旁内角，角2与角3、角4与角1分别互为邻补角。接下来就可以利用这些角之间的关系把角1和角2联系起来。我们看，角3与角1是同位角，已知AB平行于CD，角1 = 85度，就能求出角3的度数。角2与角3互为邻补角，根据邻补角定义就能算出角2的度数。关键是怎样写出完整推理过程，我们一起来看。因为AB平行于CD，所以角3 = 角1 = 85度（两直线平行，同位角相等）。
师：再看，角3与角2互为邻补角，由邻补角定义可知，角2 = 180度 - 角3，代入计算得180度 - 85度 = 95度（依据是邻补角定义）。最后作答：塔身与地面所成较大的角是95度。大家还有其他做法吗？
生：刚才通过角3把角1和角2联系起来，也可以通过角4把角1与角2联系起来。
师：对，看解法二。先由邻补角定义可得角4 = 180度 - 角1 = 180度 - 85度 = 95度。因为AB平行于CD（已知），利用平行线的性质——两直线平行，同位角相等，所以角2 = 角4 = 95度，最后作答。实际上同学们可能还有其他做法，这里就不一一展示了。有了例1的解题经验，接下来请同学们和老师一起完成下面的练习——变式训练一。
师：有一条长方形纸带，如图所示沿AB折叠，当角1 = 30度时，求纸带重叠部分中角3的度数。图中的红色区域就是纸带重叠部分，角CAB就是角3。在本题中有两个关键的隐蔽信息。首先，根据这是长方形纸带，同学们思考EB与FH有怎样的位置关系呢？
生：EB平行于FH。
师：很好，又根据折叠，角3与角4有怎样的数量关系呢？
生：角3 = 角4。
师：对，通过图形可以看到角3 + 角4 = 角CAH，也就是说角3 = 1/2倍的角CAH。要求角3的度数，也就是要求角CAH的度数。接下来我们把这个问题转换为数学问题，先从复杂图形中抽象出最基本的平行线加截线的模型，这时问题就变为：已知FH平行于EB，角1 = 30度，角3 = 角4，求角CAH和角3的度数。在本题中，我们发现图中的角1与角CAH没有特别位置关系，要找到第三个角使它们建立联系，这时图中的角2就很重要。大家能发现角1与角2有什么关系吗？角2与角CAH又有什么关系呢？接下来请同学们根据刚才的思考，独立完成本题解答过程，在纸上写一写。
（同学们完成后）
师：好了，同学们，我们一起来看看大家写得怎么样。因为FH平行于EB（已知），所以角2 = 角1 = 30度（两直线平行，同位角相等）。根据邻补角关系，所以角CAH = 180度 - 角2 = 180度 - 30度 = 150度（依据是邻补角定义）。由折叠可知角3 = 角4，所以角3 = 1/2倍的角CAH = 1/2 × 150度 = 75度。同学们对比一下自己写得如何，相信大家都能写得很好。
师：实际上这题解法很多，我们不仅可以通过角2把角1和角CAH联系起来，还可以通过其他相关的角。比如，角GCB与角CAH是一对同位角，角GCB与角1又是一对邻补角，这样就能使角1与角CAH建立联系；再看，角ECA与角CAH是一对内错角，角ECA与角1又是一对邻补角，通过角ECA也能使角1与角CAH建立联系；还有，角ACB与角CAH是一对同旁内角，角ACB的对顶角是角1，通过角ACB同样能使角1与角CAH建立联系。实际上这题可能还有其他解法。通过例1和变式训练一可以看到，运用平行线的性质解决问题时，方法可能不止一种。关键是要在复杂图形中抽象出最基本的平行线加截线模型，再运用平行线的性质找到角与角之间的关系，有时可能还需通过其他一个或两个角把没有特殊位置关系的角联系起来，这就是解决问题的关键。