师：本节课是初中数学人教版七年级下册第五章第二课时 5.1.2 垂线，我们讨论的是两条直线相交的特殊情形下垂线及其性质。首先，我们来探究两条直线相交的情况。
直线 AB 和 CD 交于 O 点，当我们将直线 CD 绕着交点 O 旋转时，直线 AB 与 CD 的夹角α会随着 CD 的运动而改变大小。当角α正好等于 90 度的时候，直线 AB 和 CD 的位置就处于相交时的特殊情形——垂直。
通过前面的描述，我们可以看出，两条直线相交所成的四个角中，当有一个角是直角时，这两条直线就是互相垂直的。此时其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。例如，看下面的图形，直线 AB 和直线 CD 垂直，垂足为 O，记作 AB⊥CD 于点 O 。
用几何语言描述就是：因为∠AOC = 90°，所以 AB⊥CD；反过来也可以说，因为 AB⊥CD，所以∠AOC = 90°。现在，请同学们积极思考下面的问题。
第一个问题，两条直线垂直和相交是什么关系呢？
生：两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况。
师：那么能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系有三种：相交、平行和垂直呢？
生：根据第一题的结论，垂直是相交的特殊情况，所以在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
师：第三题，如何判定两条射线垂直、两条线段垂直呢？请大家思考一下。给大家一个提示，我们在小学的时候做过钝角三角形较短边上的高，当时是怎么做的呢？
生：延长钝角三角形的边，然后由顶点向延长线做高。
师：对，类似这种情况，两条线段垂直、两条射线垂直，以及线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直，其实指的都是它们所在的直线垂直。现在，你能举出一些生活中与垂直有关的实例吗？
生：窗户，水平的窗框和倾斜的窗框之间互相垂直；栅栏，垂直于地面的木板和固定木板的木条之间互相垂直。
师：现在，让我们来尝试画已知直线的垂线，请大家完成下面三个题目。
一、用三角尺画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能够画出几条呢？
二、过直线 l 上一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
三、过直线 l 外一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线可以画出几条呢？
请大家准备好笔、纸和三角尺，我们先完成第一个，用三角尺画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？先在纸上画一条直线 l ，这是已知直线。我们将三角尺的一条直角边紧贴在已知直线上，然后沿着它的另一条直角边绘制的直线就与这条已知直线互相垂直。那么这样的垂线能画出几条呢？我们来画画看，将三角板向前推一点，是不是还能画一条直线与已知直线互相垂直？将三角板再向前推一点，还能画一条直线与已知直线垂直。重复这个过程，实际上可以画无数条直线与已知直线互相垂直。
那么，如果让你经过直线 l 上一点 A 去画直线 l 的垂线，这样的垂线你能画出几条呢？我们来看一看。同样用三角板的一条直角边紧贴直线 l ，将三角板慢慢朝前推移，直到它的另一条直角边碰到 A 点为止。此时我们绘制另一条直线，这条直线就是既通过 A 点也垂直于直线 l 的垂线。因为 A 点只有一个，所以我们只能画一条直线与已知直线垂直，这是 A 点在 l 上的情况。
下面我们再看另外一种情况，第三题，过直线 l 外一点 B 画直线 l 的垂线，这样的垂线你能画出几条呢？好，同样的，我们用三角尺的一条直角边紧贴直线 l ，然后沿着直线 l 向前推移，直到它的另外一条直角边碰到 B 点为止。和刚才一样，沿着另一条直角边去绘制的直线就既通过点 B ，也垂直于已知直线 l 。当然，这样的垂线我们也只能够做一条。
回顾一下刚才我们作图的过程，我们是否能够得出结论：经过一点，不管这一点在已知直线上还是已知直线外，都能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线。实际上，这个结论并不准确，准确来说应该这样表述：在同一平面内，过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线的第一个性质，它描述了垂线的存在性和唯一性。和刚才的结论相比，这条性质增加了“在同一平面内”这六个字。那么为什么要强调在同一平面内呢？如果不强调在同一平面内，难道这个结论就不正确吗？我想请大家观察一下这个正方体图形。
在这个图形中，请大家先看一下正方体的棱 AB ，经过 A 点，在这个正方体中能找到几条直线与棱 AB 所在的直线互相垂直呢？首先我们来看这个正方体上方的平面中，经过 A 点，AC 所在的直线与 AB 所在的直线是垂直的。然后我们再来看一下这个正方体前方的平面，经过点 A ，AD 所在的直线与 AB 所在的直线也是互相垂直的。你看，现在经过 A 点就有两条直线与已知直线 AB 互相垂直了。出现这样现象的原因就是因为 AC 与 AB 所在的平面，与 AB 和 AD 所在的平面并不是同一个平面。在上方的平面中经过 A 点，我们只能找到 AC 所在的直线，一条直线与 AB 所在的直线垂直；在前方的平面中，我们也只能找到 AD 所在的直线与 AB 所在的直线互相垂直。实际上在立体空间中，只要是通过直线 AB 的平面，都能够经过 A 点找出一条直线与直线 AB 互相垂直。既然通过直线 AB 的平面，在空间中我们可以找出无数个，那么如果不强调在同一平面内，过一点实际上可以有无数条直线与已知直线互相垂直。
下面，我们来看这样一个思考题，在农村进行灌溉的时候，如果想要把河中的水引到农田 P 处，怎样挖掘才能使渠道最短呢？为了解决这个实际问题，首先我们来思考这些问题。
一、你能将这个实际问题转化成数学问题吗？