师：同学你好，很高兴和你一起继续学习数学。通过本章学习，你对一次函数已有不少了解。这节课，我们来梳理本章知识点间的关系，体会知识运用中的数学思想与方法。希望通过本节课，你能有以下收获：一是能用函数相关概念解答问题；二是能用一次函数的图像和性质求系数范围，体会数形结合思想；三是会用待定系数法求一次函数解析式；四是能用一次函数解决简单实际问题，体会建立一次函数模型解决利润问题。请准备好笔和作业本，下面开始本节课学习。
师：你还记得这一章学了哪些内容吗？先看本章整体知识框图。本章主要学习了函数、一次函数与一元一次方程、二元一次方程（统称一次方程和方程组）以及一元一次不等式的关系。函数部分主要学了函数概念，函数的三种表示方法——图像法、列表法、解析法。一次函数部分主要学了概念、一次函数的图像与性质（包含图像及 k、b 的意义）、用待定系数法确定一次函数表达式、一次函数的模型及应用。下面来看几种类型问题的考察。
师：考题一，函数的概念。下列关于变量 x、y 的关系：一、y = |x|；二、3x - 2y = 5；三、|y| = x，其中表示 y 是 x 的函数关系的有哪些？本题主要考察函数概念，你还记得函数的定义吗？一般来说，假设在一个变化过程中有两个变量 x、y，如果对于 x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。第一个，y = |x|，对于每一个 x 值，y 都有唯一确定的值与之对应，所以 y 是 x 的函数。第二个等式可变形为 y = 3/2x - 5/2，是一次函数。第三个，当 x 取 2 时，y 有两个值，±2 与之对应，不符合函数定义，所以 y 不是 x 的函数。因此选第一个和第二个。解决这类题的关键是紧扣概念，要注意三点：在一个变化过程中有两个变量，且 y 对 x 的每一个值都有唯一确定的值与之对应。
师：考题二，函数的图像。小明的爸爸早晨出去散步，从家走了 20 分钟到达距离家 800 米的公园，他在公园休息了 10 分钟，然后用 30 分钟原路返回家中。那么小明爸爸离家的距离 s（米）与离家的时间 t（分钟）之间的函数关系图像大致是什么呢？本题考察离家距离 s 与离家时间 t 的函数关系图像。从家走 20 分钟到 800 米远的公园，说明小明爸爸离家的距离越来越远，对应的函数值随自变量增大而增大。在公园休息 10 分钟，这期间爸爸离家距离不变，即自变量从第 20 分钟变化到第 30 分钟时函数值不变。最后 30 分钟原路返回家中，表明从第 30 分钟到第 60 分钟，爸爸离家距离越来越近，即函数值随自变量增大而减小，所以应该选择 d。
师：答案，函数图像反映的函数值随自变量的变化情况要与题意吻合。
师：考题 3，函数自变量的取值范围。求下列函数中自变量 x 的取值范围：一、y = 1 - x；二、y = 2(x - 1)2；三、y = 1/(x + 1)；四、y = √(x - 3)。函数中自变量的取值必须使含有自变量的代数式有意义。含有自变量的代数式形式通常有以下几种：整式形式，如第一个和第二个，这种函数自变量取值范围是全体实数；分式形式，如第三个，这种函数字变量取值范围是使分母不为 0 的实数，所以只需 x + 1 ≠ 0，解得 x ≠ -1；二次根式形式，其自变量取值范围是使被开方式为非负的实数，故第四个 x - 3 ≥ 0，解得 x ≥ 3。
师：考题四，一次函数概念。已知函数 y = (m + 3)x^(|m| - 2) 是一次函数，则 m 等于多少？你还记得一次函数的定义吗？一般地，如果 y = kx + b（k、b 为常数，k ≠ 0），那么 y 叫做 x 的一次函数。特别地，当 b = 0 时，y = kx（k 为常数，k ≠ 0），此时 y 叫做 x 的正比例函数。这里要注意，一次项系数不等于 0，且自变量最高次数是 1，所以 |m| - 2 = 1，且 m + 3 ≠ 0，解得 m = 3。
师：考题五，一次函数的图像与性质。已知一次函数 y = (m - 2)x + 3 - m，求 m 为何值时，下列各结论分别成立：一、y 随 x 的增大而减小；二、函数的图像经过原点；三、函数的图像不经过第三象限。在解决这个问题前，我们先回顾一下一次函数的图像及其性质。当一次项系数 k > 0 时，图像自左向右上升，b 是函数图像与 y 轴交点的纵坐标，b 取值不同，图像所过象限不同。当 b > 0 时，图像过第一、二、三象限；当 b = 0 时，图像过原点，过第一、三象限；当 b < 0 时，图像过第一、三、四象限。此时一次函数的增减性都是 y 随 x 的增大而增大。当一次项系数 k < 0 时，图像自左向右下降。当 b > 0 时，图像过第一、二、四象限；当 b = 0 时，图像过原点，过第二、四象限；当 b < 0 时，图像过第二、三、四象限。此时一次函数的增减性都是 y 随 x 的增大而减小。回到题目，若 y 随 x 的增大而减小，根据一次函数图像性质可得一次项系数 m - 2 < 0，即 m < 2。
师：第二小问，由函数图像过原点（0, 0），所以当 x = 0 时，y = 0。代入得 3 - m = 0，且一次项系数 m - 2 ≠ 0，所以 m = 3。若函数图像不经过第三象限，则根据一次函数图像性质，一次函数可能过第一、二、四象限或第二、四象限。利用函数所过象限和一次项系数 k、常数项 b 的关系可得不等式组 m - 2 < 0，3 - m ≥ 0，解得 m < 2。
师：考题六，函数表达式的确立。已知直线 y = kx + b 的图像经过点（1, 1/2）与（4, -11），求这个一次函数的解析式，以及这个一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积。用什么方法求一次函数的解析式呢？是待定系数法。你还记得待定系数法的一般步骤吗？待定系数法求一次函数表达式的一般步骤是：一、先设函数表达式，一般设 y = kx + b，如果是正比例函数，设 y = kx（这里 k 都不等于 0）；二、根据条件把点代入解析式，列关于待定系数的方程或方程组。由于有两个待定系数，一般找两个点的坐标，如果是正比例函数，则只需要找一个点的坐标；三、解方程或方程组，求出表达式中未知数的系数；四、把求出的系数代入设的解析式，从而具体写出这个解析式。那么请你尝试计算这一题。把两个点的坐标代入解析式，可得方程组。解这个方程组得 k = -1/2，b = 1，所以一次函数解析式为 y = -1/2x + 1，你写对了吗？第二问，可以先画出图像，你还记得画函数图像的步骤吗？列表、描点、连线。一次函数的图像是一条直线，根据两点确定一条直线，所以只需要选择两个点就可以画出一次函数的图像。这里可以选择与坐标轴的交点。你还记得怎么求一次函数与坐标轴的交点坐标吗？只要令 x = 0，就可以求出图像与 y 轴的交点是（0, 1），令 y = 0，可以求出与 x 轴的交点是（2, 0），列出表格。在坐标系中描出两点，过这两个点画一条直线就是一次函数 y = -1/2x + 1 的图像。观察图像可得，三角形的底边长就是图像与 x 轴交点横坐标的绝对值，高就是图像与 y 轴交点纵坐标的绝对值。所以可求得三角形面积是 2 × 1 ÷ 2 = 1。解决这类题目主要就是利用待定系数法，先求解析式，再求出直线与坐标轴的交点。这里用到了数形结合的方法。一次函数与坐标轴的交点在一般情况下的结论是什么呢？
师：一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）的图像与坐标轴的交点，与 x 轴的交点坐标是（ -b/k, 0），与 y 轴的交点坐标是（0, b）。求直线与坐标轴所围三角形面积，一般先用待定系数法求直线解析式，再求出与坐标轴的交点坐标，然后根据图像得出三角形的底边长和高，分别是图像与坐标轴交点到原点的距离，用三角形面积公式求得 S = 1/2 × 底 × 高 = 1/2 × | -b/k | × | b | = b2 / (2 | k |)。
师：考题七，一次函数的应用——最大利润。5G 时代将给人类生活带来巨大改变，现有 A、B 两种型号的 5G 手机，进价和售价如表所示：A 型号手机进价 3000 元，售价 3400 元；B 型号手机进价 3500 元，售价 4000 元。某营业厅购进 A、B 两种型号手机，共花费 32000 元，手机销售完成后共获得利润 4400 元。
师：一、营业厅购进 A、B 两种型号手机各多少部呢？共花费 32000 元，表示两种型号手机的进价之和为 32000 元；共获得利润 4400 元，表示两种型号的手机利润之和是 4400 元。这一题可以用一元一次方程解答，也可以用二元一次方程组解答，这里用二元一次方程组解。设营业厅购进 A、B 两种型号手机分别为 a 部、b 部。根据题意可得 3000a + 3500b = 32000。由售价和进价之差是每一部手机的利润，得 A 手机的利润是 3400 - 3000 = 400 元/部，B 手机的利润等于 4000 - 3500 = 500 元/部。由于销售完成共获利润 4400 元，可得 400a + 500b = 4400 元，列出方程组解得 a = 6，b = 4，所以两种型号手机分别为 6 部、4 部。
师：二、若营业厅再次购进 A、B 两种型号手机共 30 部，其中 B 型号手机的数量不多于 A 型号手机数量的 2 倍。营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？再次购进 A、B 两种型号手机共 30 部，“再次”说明第二题和第一题数据没有关联。那么利润该如何表示呢？又该如何设未知数呢？这一题还能像第一题那样设两个未知数吗？如果设两个未知数，发现利润表示为 400x + 500y 不容易求最大值。所以设一个未知数。两部手机共 30 部，可设购进 A 手机 x 部，则 B 手机（30 - x）部。设总利润为 w 元。根据总利润等于 A 手机的利润加 B 手机利润可得 w = 400x + 500(30 - x) = -100x + 15000。这里的总利润是关于 x 的一次函数，如何求这个一次函数的最大值呢？
师：可以利用函数增减性解决问题。根据一次项系数 -100 < 0，得 w 随着 x 增大而减小，这一步不能省略，这是判断 w 增减性的重要依据，即 x 越小，w 越大。那么 x 最小是多少呢？自变量取值范围怎么求？实际问题中，自变量的取值应使实际问题有意义。本题中 B 型手机的数量不多于 A 型手机数量的 2 倍，可得 30 - x ≤ 2x，解得 x ≥ 10。又因为 -100 < 0，所以 w 随 x 增大而减小。可得，当 x = 10 时，w 取最大值 14000。此时 30 - x = 20，即营业厅购进 A 型号手机 10 部，B 型号手机 20 部时，获得最大利润 14000 元。我们一起总结一下解决这种类型题目的方法。
师：本题主要考察一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用。解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程或方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质来解答。一、根据题意和表格中的数据得出相应的二元一次方程组；二、根据题意得到总利润关于自变量的关系式，再求出自变量的取值范围；三、根据一次函数的性质可以求得最大利润。下面我们一起总结一下本节课的内容。本节课我们一起复习了函数、一次函数的定义、一次函数的图像及其性质、函数解析式的确立以及建立一次函数模型解决最大利润问题。复习了用待定系数法求函数的解析式，复习了求直线与坐标轴的交点、直线与坐标轴所围的三角形面积，体会了数形结合思想、方程思想。这是今天的作业，请大家认真完成课本第 61 页第 7 题，第 62 页的第 9、第 10 题。最后，请你根据今天的学习表现，结合学习目标进行自我评价，把自己能得到的五角星涂上颜色。这节课我们就上到这里，下节课我们继续复习本章内容，再见。