师：同学们好，前面几节课我们学习了第十章平面直角坐标系，今天这节课我们来回顾与小结本章内容。下面，我们一起整理一下本章的主要知识点。
首先，平面直角坐标系与点的坐标。什么是平面直角坐标系呢？在平面内，由两条互相垂直且原点重合的数轴组成的图形，就是平面直角坐标系。这里有两个关键要素，一是要有两条数轴，二是这两条数轴必须互相垂直且原点重合。平面直角坐标系主要是研究平面上点的位置，表达点的位置采用点的坐标，也就是有序实数对。从平面上一个点分别向坐标轴做垂线，与 x 轴交点所表示的数是点的横坐标，与 y 轴交点所表示的数是点的纵坐标，书写时横坐标在前，纵坐标在后。
接着，平面内点的坐标。
一、各象限点的坐标符号。平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴将平面分成四部分，右上角是第一象限，按逆时针方向依次为第二象限、第三象限和第四象限。各象限内点的坐标符号特征为：第一象限，横坐标、纵坐标都为正；第二象限，横坐标为负，纵坐标为正；第三象限，横坐标、纵坐标都为负；第四象限，横坐标为正，纵坐标为负。需要注意的是，坐标轴上的点不属于任何象限，它们是各个象限的分界线。坐标轴上点的坐标特征为：在 x 轴上，横坐标 x 为任意实数，纵坐标 y 为 0；在 y 轴上，横坐标 x 为 0，纵坐标 y 为任意实数；坐标原点的横坐标、纵坐标都为 0。
二、建立直角坐标系的方法多样，在不同坐标系中，同一图形的点的坐标可能不同，我们要根据具体情况建立适当的直角坐标系。图形在坐标系中的平移规律如下：
原图形向左或向右平移 (a) 个单位（(a＞0)），若原图形上点 (P) 的坐标是 ((x,y))，将原图形向右平移 (a) 个单位，对应点的坐标是 ((x + a,y))；向左平移 (a) 个单位，对应点的坐标是 ((x - a,y))，即左右平移时纵坐标不变，横坐标遵循右加左减的规律。
原图形向上或向下平移 (b) 个单位长度（(b＞0)），原图形上点 (P) 的坐标是 ((x,y))，向上平移 (b) 个单位，对应点的坐标是 ((x,y + b))；向下平移 (b) 个单位，对应点的坐标是 ((x,y - b))，即上下平移时横坐标不变，纵坐标遵循上加下减的规律。要注意，在平面直角坐标系内，一个图形如何移动，图形上的每个点就如何移动。
下面我们来看这部分的主要考点。
例一：点 (P) 位于 (y) 轴左方，距 (y) 轴三个单位长，位于 (x) 轴上方，距 (x) 轴四个单位长，点 (P) 的坐标应该是（ ）
A. ((3,-4)) B. ((-3,4)) C. ((4,-3)) D. ((-4,3))
根据平面直角坐标系中点的坐标符号特征及几何意义来判断，因为 (P) 位于 (y) 轴左方，所以点 (P) 的横坐标小于 0，又距 (y) 轴三个单位长，那么点 (P) 的横坐标是 (-3)；因为 (P) 点位于 (x) 轴上方，距 (x) 轴 4 个单位长，所以点 (P) 的纵坐标为 4，因此这道题选 B。
总结方法：平面直角坐标系中四个象限内的符号特点，第一象限是正正，第二象限是负正，第三象限是负负，第四象限是正负。坐标平面上的点到 (x) 轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到 (y) 轴的距离等于其横坐标的绝对值。判断点的位置时，要注意象限内点的坐标符号特征，以及点到坐标轴的距离与坐标绝对值的关系，不要混淆。
考点二：坐标与平移
例二：在平面直角坐标系中，线段 (A'B') 是由线段 (AB) 经过平移得到的。已知点 (A) 坐标为 ((-2,1))，对应点为 (A') 坐标为 ((3,1))，点 (B) 的对应点为 (B')，(B') 的坐标为 ((4,0))，求点 (B) 的坐标。
解答过程：因为点 (A) 的对应点是点 (A')，(A) 点坐标是 ((-2,1))，(A') 的坐标是 ((3,1))，观察坐标发现纵坐标不变，横坐标从 (-2) 到 (3)，说明线段 (A'B') 沿着 (x) 轴向右平移了 (3 - (-2) = 5) 个单位。设点 (B) 的坐标为 ((x,y))，根据平移规律可得 (x + 5 = 4)，(y) 不变为 (0)，解得 (x = -1)，所以点 (B) 的坐标是 ((-1,0))。
总结方法：在平面直角坐标系平移中，点的变化规律是横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减。在平面直角坐标系中，一条线段或一个图形怎么移动，图形上各个点就怎么移动。
考点三：平移作图
例三：如图，在直角坐标系中，三角形 (ABC) 顶点都在网格点上，其中 (C) 点的坐标为 ((1,2))。
写出 (A) 点、(B) 点的坐标。
将三角形 (ABC) 先向左平移两个单位，再向上平移一个单位，得到三角形 (A'B'C')，画出相应图形，并写出三角形 (A'B'C') 三个顶点的坐标。
求三角形 (ABC) 的面积。
解答：
由图形可知，(A) 点的坐标是 ((2,-1))，(B) 点的坐标是 ((4,3))。
将三角形 (ABC) 先向左平移两个单位，再向上平移一个单位。(A) 点原坐标是 ((2,-1))，向左平移两个单位，纵坐标不变，横坐标减 2，再向上平移一个单位，纵坐标加 1，所以 (A') 的坐标是 ((0,0))；同理，(B') 的坐标是 ((2,4))；(C') 的坐标是 ((-1,3))。
求三角形 (ABC) 的面积。可将其看作是一个边长为 3 和 4 的长方形，再分别减去两个直角边分别为 1 和 3 的直角三角形，以及直角边分别为 2 和 4 的直角三角形。所以该三角形的面积为 (3×4 - \frac{1}{2}×1×3 - \frac{1}{2}×2×4 = 5)。
总结：直角三角形中的图形左右移动时，改变点的横坐标，左减右加；上下平移时，改变点的纵坐标，上加下减。求网格中图形的面积，通常采用割补法，常用长方形的面积减去若干个直角三角形的面积，或转化为用几个较易求的三角形或四边形的面积来表示。