师：同学们好，今天我们一起来学习八年级沪科版上册第15章第四节角平分线。上节课我们学习了做角平分线的方法，大家还记得有几种吗？
生：可以通过折纸法，也就是折叠法；还能用量角器度量，量出角的一半来画角平分线；也可以用尺规作图准确地作出角平分线。
师：非常好。这节课我们接着深入学习角平分线。大家看PPT上的一道问题，如图所示，OP平分∠BOA，PD⊥OB，垂足为D，PC⊥OA，垂足为C 。求证PD = PC，大家先思考一下怎么证明。
生：可以用上一章的全等知识来证明线段相等。
师：很棒。那在本题中，通过哪两个三角形全等能得出PD = PC呢？
生：△POD和△POC。
师：那找一找这两个三角形全等的条件。
生：有一个直角对应相等，因为OP是角平分线，所以∠AOP = ∠BOP，还有OP是公共边。
师：那大家能不能完成证明过程？从OP平分∠AOB开始，所以∠AOP = ∠BOP 。又因为PC⊥OA，PD⊥OB，所以∠PCO = ∠PDO，这是根据垂直的定义。在△PCO和△PDO中，∠AOP = ∠BOP，∠PCO = ∠PDO，OP = OP，所以△PCO ≌ △PDO，根据角角边，从而得出PC = PD 。
师：同学们观察一下，通过这道例题能说明什么呢？如果P点在OP这条射线上其他位置，过P点向角的两边做垂线，得到的两个垂线段长度会怎样？
生：相等，都可以用这种方法证明。
师：所以我们能得到什么结论？
生：角平分线上的点到角两边的距离相等。
师：非常好，这就是角平分线的性质定理。在实际解题中，我们用什么样的几何语言来规范表述呢？如图，因为OP是∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，所以PC = PD 。大家看一看这个几何语言有什么特点？
生：它的条件是一个角平分线，两个垂直，结论是两条线段相等。
师：没错，角平分线的性质定理是实现两条线段相等的依据之一。今后我们可以用这个新知识处理两条线段相等的问题。下面来看这道题，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠CAB且交BC于点D，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BE = FC，求证BD = DF 。大家自己思考一下，独立完成。
（老师收集一位同学的证明过程）
师：同学们观察一下，这位同学哪些地方做得好，哪些地方不太好？
生：这位同学开始没有写“证明”二字，证明题格式一定要有“证明”。因为DE⊥AB，所以得到两个角是90°，能得出∠DEB = ∠C = 90° 。又因为AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，利用角平分线的性质定理得出DC = DE，后面理由标注得很清楚。但后面证明两个三角形全等时，全等符号丢了。
师：观察得很仔细。全等后得到DF = DB，本题证明完成。我们再看看另一位同学做的。
（老师展示另一位同学的解题过程）
师：这位同学证明格式写得不错，写了“证明”。因为AD平分∠BAC，∠C = 90°，DE⊥AB 。不过这位同学在解题过程中，由∠C = 90°得出DC⊥AC没有写出来，最好写清楚。一个平分，两个垂直得到线段相等，新知识用得很好。又因为两个角等于90°，下面证明两个三角形全等，和前面同学方法基本一样，这位同学写得更完善一些。
师：下面我们一起看规范的证明过程。因为∠C = 90°，可转化为DC⊥AC，因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，所以DC = DE 。在△DCF和△DEB中，三个条件DC = DE，∠C = ∠BED，FC = BE，所以△DCF ≌ △DEB，从而求证出BD = DF 。
师：交换角平分线性质中的已知和结论，能得出什么结论？大家在草稿纸上写一写。
生：角平分线上的点到角两边的距离相等，逆命题是在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
师：这个命题正确吗？如果要说明一个命题不正确，用什么方法？
生：举反例。
师：那要说明一个命题是正确的呢？
生：需要证明。
师：大家先找找看有没有反例？
生：难找，找不到。
师：那我们尝试证明。要证明一个命题，需要写成已知、求证。看黑板，已知如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D和E，且PD = PE。求证点P在∠AOB的角平分线上。大家自己尝试一下。
（有同学得出结论）
师：在这里我们需要做一条辅助线，构造全等三角形。可以怎么做？
生：做射线OP，然后证明△POD和△POE全等。
师：找一找全等条件。
生：这里有两个直角，一个公共边，还有PD = PE，这两条直角边相等，公共边是斜边，可以用斜边直角边证明这两个三角形全等。
师：看老师的解题过程。因为PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO = ∠PEO = 90° 。在Rt△PDO和Rt△PEO中，因为OP = OP，PD = PE，所以Rt△PDO ≌ Rt△PEO，从而得出∠AOP = ∠BOP 。根据角平分线的定义，就能得出P点在∠AOB的角平分线上。所以角平分线性质定理的逆命题通过证明是正确的，它也是一个真命题，而且是角平分线的判定定理。角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上。下面看几何语言，因为PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，所以点P在∠AOB的平分线上。大家观察一下和刚才性质定理的几何语言不一样的地方在哪？