师：同学们好，今天很高兴和大家一起学习15.4角平分线的第三课时。在此之前，我们已经学习过平行线的尺规作图，以及性质定理和判定定理。那么，同学们还记不记得怎样用尺规作一个角的平分线呢？我们一起来回忆一下：以点O为圆心，任意长为半径作弧，与角的两边分别交于M、N两点；再以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径作弧，两条圆弧交于角AOB内的一点P；作射线OP，就是所求作的角AOB的平分线。
接下来，请同学们拿出尺规，作出三角形ABC三个内角的角平分线，看看有什么发现。我们先作角B的平分线BE，再作角C的平分线CF，最后作角A的平分线AD。大家很容易发现，这三条内角平分线交于一点。但是，有一位同学做出了这样一幅图形，他做出来的三点没有交于一点。同学们知道这是为什么吗？
生：因为作图工具和使用者的不同，不可避免会出现作图误差。
师：是的。那么，还有没有更好的方法来证明三角形的三个内角平分线是交于一点的呢？
生：可以用证明的方法。
师：对，那我们需要怎么做呢？
生：先画图，写出已知、求证，然后进行证明。
师：没错。首先我们需要一个三角形，接下来作图要作出角A、角B、角C的角平分线。有同学可能会想，如果做出来的三条角平分线跟刚才那位同学一样，不是交于一点怎么办？怎样才能确保它们交于一点呢？
生：两条直线相交，有且只有一个交点，如果能说明第三条线也经过前面两条直线相交的那个交点，就能说明三条直线交于一点。
师：非常好。也就是说，我们只需要作出角B和角C的角平分线相交于点P，然后连接AP，证明AP平分角BAC即可。据此，我们可以写出已知、求证。同学们能和老师一起完成这个证明过程吗？我们来分析一下，已知条件中角B的平分线和角C的平分线相交于点P，我们的目的是证明AP平分角BAC。回忆一下，怎么才能说明AP是角BAC的平分线呢？
生：可以证明角BAP等于角CAP，也可以证明点P到AB与AC的距离相等。
师：对。由于BP是角ABC的平分线，那么点P到AB和BC的距离是相等的。同理可知，点P在角ACB的平分线上，也能说明点P到BC的距离和到AC的距离是相等的。那这样的话，我们可以添上三条辅助线。请一位同学来说说辅助线的做法。
生：因为BP平分角ABC，PM垂直于BC，PQ垂直于AB，就能得到PQ = PM，依据是角平分线上的点到角两边的距离相等。
师：很好。同理可知PM = PN，经过等量代换就可以得到PN = PQ。由于PN是点P到AC的距离，PQ是点P到AB的距离，且这两个距离相等，就可以得到AP平分角BAC。这样就可以知道点P是三角形ABC三个内角角ABC、角ACB、角BAC的角平分线的交点。那么，用语言归纳一下这个结论。
生：三角形三条内角平分线相交于一点，这个点到三角形三边的距离相等。
师：非常棒。同学们思考一下，既然三角形三条内角平分线交于一点，并且到三边的距离相等，那么三角形的外角平分线有没有交点呢？如果有交点，这个点到三边的距离又有什么关系呢？带着这样的思考，我们来看例2。
已知如图，三角形ABC的外角EBC和角BCF的平分线相交于点D，要说明AD是角BAC的平分线。根据刚才的学习经验，同学们知道要说明AD是角BAC的平分线，可以怎么做呢？
生：过点D做AE的垂线段，过点D做AC的垂线段DM和DN，如果能说明DM和DN相等，即可说明AD平分角BAC。
师：对。由于D点在外角EBC与外角BCF的平分线上，那么我们可以过点D往AB、BC、AC做垂线段，垂足分别为点P。很容易可以得到DM = DP，DP = DN，同理，通过等量代换就可以得到DM = DN。
通过这个例题，同学们可以发现三角形的一个内角平分线能够经过其他两个外角平分线的交点，并且这个点到AB边、BC边和AC边的距离也是相等的。据此，我们可以思考，到三角形三边所在直线的距离相等的点有几个，它们各是如何找到的呢？
生：三角形的三条内角平分线交于一点，这个交点必然到三角形三边的距离相等。三角形三个外角平分线相交形成了三个交点，根据刚才的例2可知，这三个交点也符合要求，所以这样的点总共有4个。
师：同学们已经掌握了相关定理和知识，接下来我们运用这些知识来解决一些实际问题。先看第一个问题，这是一个实际问题，需要同学们分析所需要满足的条件。一所学校在公路的南侧，在河的西岸，学校到公路边与到河沿的距离相等，并且与河上公路桥西首的点A距离为200米。请在图上标出学校的位置并说明理由。同学们想一想，学校肯定是用一个点来表示。那么，第一个条件“在公路的南侧”，公路在这儿，上北下南，所以学校应该在下面这个部分。第二个条件“在河的西岸”，左西右东，所以大概区域应该在这个区域。第三个条件“学校到公路边与河沿的距离相等”，学校是一个点，公路边和河沿可以抽象成两条直线，相当于是这个点到两条直线的距离相等，我们可以看到这两条线形成了一个角，根据我们的经验，怎么做呢？
生：做出这个角的平分线，点就在角平分线上。
师：对。第四个条件“与河上公路桥西首的点A的距离是200米”，两点之间的距离是线段的长度，要做出线段长度为200米，这里有一个比例尺1∶20000，那么把200米转化成20000厘米，根据比例尺，这个点到点A的距离应该是1厘米。这样的话，做出角平分线，找到和点A距离为1厘米的点B，如图所示，点B即学校所在位置。
再看第二个问题，如图，点P是三角形ABC三条角平分线的交点，连接PA、PB、PC。如果三角形PAB的面积是S1，PBC的面积是S2，PAC的面积是S3，那么S1与S2 + S3的大小关系是怎样的呢？同学们思考一下。
生：首先，三条角平分线的交点到三边的距离相等。其次，面积涉及底和高，对于三角形PAB来说，把AB作为底，点P到AB的距离作为高，所以要过点P作垂线段。同理，做出点P到BC、AC的垂线段。
师：假设点P到三边的距离都设为h，那么S1可以表示成1/2×AB×h，S2可以表示成1/2×BC×h，S3可以表示成1/2×AC×h。这样的话，S2 + S3就是1/2×h×(BC + AC)，我们只需要比较AB与BC + AC的大小即可。由于AB、BC、AC这三条线段在同一个三角形中，根据三角形两边之和大于第三边，所以可以知道AB小于BC + AC，即可得到S1小于S2 + S3。同学们想到了吗？