师：今天我们来学习等腰三角形性质的应用。大家看，如图，在三角形ABC中，AB等于AC，AD平分角BAC，你们能得出哪些结论？思考一下。
生：可以得到角B等于角C，角BAD等于角CAD，且等于1/2角BAC。还能得到BD等于CD，等于1/2BC，角ADB等于角ADC，等于90度。
师：非常好。我们还知道三角形ABC是轴对称图形，三角形ABD与三角形ACD关于AD对称。其中角B等于角C，这是由等腰三角形性质定理一得到的，即等腰三角形的两个底角相等，简称为“等边对等角”，它常用来证明角相等。这里要注意，一个三角形中两条边相等，那么所对的角也相等，且这两边相等是在同一个三角形中。我们结合这个图形写一下，因为在三角形ABC中，AB等于AC，所以角B等于角C（等边对等角）。我们还得到了AD垂直BC，BD等于CD等于1/2BC，这就是等腰三角形性质——等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边。等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”。当我们知道AD具备这三个中的一个时，那么它就具备了另外两个身份。
比如，首先指出三角形ABC是等腰三角形，因为AB等于AC。若AD满足是顶角的平分线，即角BAD等于角CAD，那么我们可以得到的结论是AD垂直BC，AD平分BC，也就是BD等于CD，且AD垂直BC，也可写成BD等于CD等于1/2BC，还能写成角ADB等于角ADC等于90度，根据具体需要去书写。若AD具备的是BD等于CD，那得到的结论就是角BAD等于角CAD以及AD垂直BC，这就是“三线合一”。在等腰三角形中，若我们知道AD垂直BC，我们可以得到什么结论呢？
生：可以得到它平分顶角，即角BAD等于角CAD，等于1/2角BAC。如果需要的话，还可以写出等于1/2角BAC，还能得到AD平分BC，写成BD等于CD等于1/2BC。
师：没错，这就是等腰三角形的“三线合一”。等腰三角形性质还有一个推论，关于等边三角形，其三个内角相等，每一个内角都等于60°。下面我们看看这些性质的应用。
如图，在三角形ABC中，AB等于AC，点D在AC上，且BD等于BC等于AD。求角A和角C的度数。大家先思考一下，题目中没有告诉我们任何一个角的度数，怎么去求角A与角C的度数呢？
生：通常设未知数，用方程来解决。
师：非常好，我们设较小的角A为x度。因为BD等于AD，所以角ABD等于角A，等于x度。根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，我们可以表示出角BDC等于角A + 角ABD，即2x度。又因为BD等于BC，所以角C等于角BDC，等于2x度。题目已知AB等于AC，所以角ABC等于角C，也等于2x度。在三角形ABC中，三个内角的度数我们都用x的代数式表示出来了。接下来可以根据三角形的内角和定理列方程求解x。
我们书写一下解题过程，解：设角A等于x度。因为BD等于AD，所以角ABD等于角A，等于x度。所以角BDC等于角ABD + 角A，等于2x度。因为AB等于AC，BD等于BC，由AB等于AC可得角ABC等于角C，由BD等于BC可得角C等于角BDC，所以角ABC、角C、角BDC都等于2x度。
根据三角形内角和定理列方程：x + 2x + 2x = 180，解这个方程得x = 36。所以角A等于36°，角C等于2x度，即72°。这里要注意，我们设角A等于x度，x表示的是一个数，列方程时没带度，所以解出来x = 36也是一个数。这题还有其他方法来求角A和角C的度数吗？
生：角ABD等于x度，角ABC等于2x度，所以角DBC等于x度。可以用三角形BCD的内角和定理来列方程求出x，从而求出角A和角C的度数。
师：还有其他列方程的方法吗？
生：角A等于x度，AD等于AC（此处应该是笔误，前面条件是BD = AD），所以角C等于90° - 1/2x度，角C又等于2x度，所以90° - 1/2x度 = 2x度，用同一个角的两种不同表示方法来列方程。
师：还有吗？
生：角A等于x度，AB等于AC，所以角C等于（180° - 角A）÷ 2 = 90° - 1/2x度。BC等于BD，所以角BDC等于角C，等于90° - 1/2x度。又因为BD等于AD，所以角ABD等于角A，等于x度。因为角BDC是三角形ABD的外角，所以90° - 1/2x度 = x度 + x度，用三角形的外角等于不相邻的两个内角和来列方程。
师：对于题目中没有告诉我们任何一个角的度数，需要求角A、角C度数的情况，通常设未知数列方程来解决。列方程可以根据三角形内角和定理，也可以根据同一个角的不同表示方法，还可以根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和来列方程。下面我们来看第三，求证斜边和一条直角边分别相等的两直角三角形全等。这是我们前面判定两个直角三角形全等的方法HL，今天我们在这把这个判定定理进行证明。这是一个命题，证明需要画出图形，写出已知和求证，大家思考一下应该画什么样的图形？
生：应该画两个直角三角形，这两个直角三角形是全等的。
师：好，接下来我们写出已知。如图，在直角三角形ABC和直角三角形A'B'C'中，指出直角角C等于角C'等于90°，它们需要满足斜边相等，AB等于A'B'，以及一条直角边相等。这里可以选择AC等于A'C'，也可以选择BC等于B'C'，我们用AC等于A'C'。那么求证的结论就是这两直角三角形全等。
接下来我们给出证明。思考一下怎么证这两个直角三角形全等，肯定不能再用HL来证明，要把它给的“边边角”条件转化成我们学过的“边边边”“边角边”“角角边”或“角边角”来判定这两个三角形全等。怎么将已知的三个条件转化成所需的判定三角形全等的三个条件呢？