师：同学你好，通过本节课的学习，希望你能有以下收获：一、经历探索三角形全等的过程，能有条理地探究判定两个三角形全等的条件；二、利用三角形全等探究线段之间或角之间的关系；三、通过学习探索过程，能有条理地思考结论、探索性问题。请你准备好笔、直尺、草稿纸，下面我们开始本节课的学习。
在前面几节课中，我们都在学习三角形全等的判定。那么判定两个三角形全等的方法有哪些呢？它需要哪几个条件呢？请同学们回忆一下。
如图，当两个三角形满足边和它们的夹角对应相等时，这两个三角形全等，即两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“SAS”。符号语言表达为：在△ABC与△DEF中，因为AB = DE，∠B = ∠E，BC = EF，所以△ABC ≌ △DEF。
当两角和它们的夹边对应相等时，这两个三角形全等，即两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“角边角”或“ASA”。用符号语言表达为：在△ABC和△DEF中，因为∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E，所以△ABC ≌ △DEF。
当三边对应相等时，这两个三角形全等，即三边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“边边边”或“SSS”。用符号语言表达为：在△ABC和△DEF中，因为AB = DE，BC = EF，CA = FD，所以△ABC ≌ △DEF。
当两角和其中一个角的对边对应相等时，这两个三角形全等，即两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“AAS”。用符号语言表达为：在△ABC和△DEF中，∠C = ∠F，∠A = ∠D，AB = DE，所以△ABC ≌ △DEF。
当斜边和一条直角边对应相等时，两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。在这里请同学们注意，HL判定两个三角形全等的方法仅适用于直角三角形。用符号语言表达为：在Rt△ABC和Rt△DEF中，因为AC = DF，AB = DE，所以Rt△ABC ≌ Rt△DEF。
这么多种判定方法，我们将其放在一起来看，“边角边”“角边角”“边边边”和“角角边”是一般形状的两个三角形全等的判定方法。当然，两个直角三角形全等不仅可以使用以上方法，还可以用其特有的判定方法“斜边、直角边”。三角形全等的判定方法中至少需要3组条件，并且这三组条件中至少有一组边相等。本节课我们综合运用以上方法来解决问题。
活动一：利用全等三角形证明线段相等或角相等。这类问题我们在前面的学习中有遇到过。要证明线段相等或角相等，经常是先证明其所在的三角形全等，再由全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等”得到。
首先看例1，已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB = AC，AD = AE，∠1 = ∠2。求证：1. BD = CE；2. ∠M = ∠N。
先看第一小题，要证明BD = CE，我们可以考虑证明哪两个三角形全等呢？对，我们可以证明△ABD ≌ △ACE。再看题中的已知条件，AB = AC，AD = AE，∠1 = ∠2，条件中的边和角都是△ABD和△ACE中的边或角，都可以直接使用。这两个三角形具备了两边及其夹角分别相等的条件，我们可以用“SAS”来证明这两个三角形全等，由全等三角形的性质即可得出BD = CE。
按照这样的思路，我们来写出证明过程。
证明：1. 在△ABD和△ACE中，
- 因为AB = AC（已知），
- ∠1 = ∠2（已知），
- AD = AE（已知），
所以△ABD ≌ △ACE（依据为SAS），
所以BD = CE（全等三角形的对应边相等）。
问题二，结合图形，我们能够发现要证明∠M与∠N相等，我们可以考虑证明它们所在的两个三角形全等的思路。因为有了第一小题的基础，要想证明∠M = ∠N，可以转化成求证△ACM与△ABN全等。题目中的已知条件AC = AB可以直接作为证明这两个三角形全等的依据。由第一小题已经得到证明的结论△ABD ≌ △ACE，所以∠B = ∠C（依据为全等三角形对应角相等）。
那么证明△ACM与△ABN全等的第三个条件在哪呢？对，我们把题目中的已知条件∠1和∠2都加上公共角∠DAE，也是相等的，即∠BAN = ∠CAM。这两个角就分别是要证明的两个三角形的内角了。此时我们所要证明△ACM与△ABN全等的条件已具备，判定依据为“ASA”，就可以得出∠M = ∠N（依据为全等三角形对应角相等）。此时我们需要证明的条件已具备。我们来看完整的解答过程。
证明：
因为∠1 = ∠2（已知），
所以∠1 + ∠DAE = ∠2 + ∠DAE（等式的性质），即∠BAN = ∠CAM。
由已知△ABD ≌ △ACE（已证），
所以∠B = ∠C（全等三角形对应角相等）。
在△ACM和△ABN中，
因为∠C = ∠B（已证），
AC = AB（已知），
∠CAM = ∠BAN（已证），
所以△ACM ≌ △ABN（ASA），
所以∠M = ∠N。
解决第二小题，我们是在第一小题的基础上利用角转换来实现的。我们也可以通过三角形的外角证明∠M与∠N相等。请你课下思考，完成活动。
活动二：利用全等三角形证明线段之间的数量关系。
如图所示，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，MN是过点A的一条直线，BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，证明DE = BD + CE。
要证明DE = BD + CE似乎没什么思路。图形中有许多三角形，你能找出图形中的全等三角形吗？已知AB = AC，我们看AB与AC所在的三角形，你有什么想法？我们可以尝试去证明△ABD ≌ △CAE，如果我们证出了它们全等，你能通过转化得到要证明的结论吗？由全等三角形的对应边相等，我们可以得到BD = AE，AD = CE。所以DE = AE + AD = BD + CE，所以DE = BD + CE。