师：同学你好，这节课我们一起来学习 13.2 命题与证明的第一课时——命题。通过本节课的学习，希望你能有以下收获：一、体会推理论证的必要性；二、理解命题的概念，并能判断命题的真假；三、正确区分命题的条件和结论，会将命题改写成“如果……那么……”的形式；四、理解互逆命题的概念，能写出一个命题的逆命题；五、理解反例的意义，并能正确举出反例说明一个命题是假命题。请你准备好三角尺、笔和作业本，下面开始本节课的学习。
常言道，耳听为虚，眼见为实。下面请你仔细观察图中线段 AB 与 CD、EF 与 GH 的位置关系，你觉得它们是否垂直？
生：通过观察，线段 AB 与 CD 不垂直，EF 与 GH 互相垂直。
师：我们亲眼看到的这些结论一定正确吗？下面我们用几何画板来验证一下，∠BOC = 48.44°，线段 AB 与 CD 确实不垂直；∠EPH = 89.80°，线段 EF 与 GH 也不垂直。
虽然观察、操作和实验等方法得到的感性认识是科学发现的开始，但研究几何图形如果仅限于这些方法，难以使人确信结果的正确性。比如上一节研究三角形性质时，我们通过折叠、剪拼或度量得到三角形三个内角的和是 180°。对于这个结果，有同学提出疑问：在剪拼时发现三个内角难以拼成一个平角，只是接近 180°的某个值；还有同学度量三个角后相加，有的接近 179°，有的接近 181°，并非都准确得到 180°。因为实验操作存在误差，所以我们学习几何既需要观察和实验，也需要学会推理。从这节课起，我们将系统学习用逻辑推理方法对几何中的结论进行论证。
推理是一种思维活动，人们在思维活动中常常要对事物的情况做出种种判断，而判断是通过语言来表达的。例如下面 6 个语句，请你根据生活经验和已学知识判断这些语句或式子是否正确。
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。
若 a＞0，b＞0，则 ab＞0。
若 ab＞0，则 a＞0，b＞0。
我们是八年级的学生。
1 + 2＜3。
生：1. 正确；2. 不正确；3. 正确；4. 不正确；5. 正确；6. 不正确。
师：这 6 个语句或式子都做出了判断，而且这些判断可能正确，也可能不正确。具有这种特征的语句就是本节课我们要学习的内容——命题。像这样对某一事件做出正确或不正确判断的语句或式子叫做命题。命题首先要做出判断，而判断有正确和不正确之分。我们把正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。学习了命题的概念，请你试着辨析一下下面的语句有没有做出判断，是不是命题。如果是命题，请判断它的真假。
时间都去哪儿了？
两点之间线段最短。
以点 O 为圆心，3 厘米长为半径画圆。
欢迎前来参观。
若 a＞b，则 ac＞bc。
生：1. 这是一个问句，没有做出判断，所以它不是命题。
2. 对两点之间线段的长短做出了正确的判断，所以它是命题，是真命题。
3. 这句话叙述了一个作图的步骤，没有做出判断，所以它不是命题。
4. 是感叹句，没有做出判断，不是命题。
5. 对 ac 和 bc 大小做出了判断，所以是命题。但当 c = 0 时，ac = bc，所以它做出的是不正确的判断，是个假命题。
师：其实命题我们并不陌生，早有接触，我们之前学过的定义、定理、性质都是真命题。比如刚才的第一个命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。请你想一想在我们之前的学习中还学过哪些这样的命题？
生：我们学过平行线的判定性质、等式的性质、不等式的性质、三角形的内角和定理、乘法法则等等。
师：刚才我们探究了命题的概念。下面我们换一个角度，再来观察一下这四个命题，它们在结构形式上有什么共同特征？
生：它们都是用关联词“如果……那么……”或者“若……则……”连接起来的。
师：这是命题的一般形式。如果我们用字母来表示它们不同的地方，就可以把命题写成“如果 p，那么 q”的形式。其中 p 是这个命题的条件或题设，q 是这个命题的结论或题断。例如在命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”中，“两个角是对顶角”是这个命题的条件，也叫题设；“这两个角相等”是这个命题的结论或题断。有时为了叙述简便，也可以省略关联词“如果……那么……”。例如命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以写成“对顶角相等”。那请你想一想，“如果……那么……”这个关联词既然可以省略，那么省略的关联词能不能再补回来？试一试，请把下列命题写成“如果 p，那么 q”的形式，并指出命题的条件和结论。
互为相反数的两个数的和为 0。
同底等高的两个三角形面积相等。
生：1. 可以写成“如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为 0”。命题的条件是“两个数互为相反数”，结论是“这两个数的和为 0”。
2. 可以改写为“如果两个三角形是同底等高的三角形，那么这两个三角形的面积相等”。命题的条件是“两个三角形是同底等高的三角形”，结论是“这两个三角形的面积相等”。
师：这里我们可以看出，在不改变命题原意的前提下，将命题改写成“如果 p，那么 q”的形式可以让我们更容易分辨出命题的条件和结论。刚才我们一起探究了命题的条件和结论，下面我们就从条件和结论的角度再次观察一下这四个命题。这一次我们把四个命题分为两组，请先思考一下每个命题的条件和结论。