师：同学你好，从本节课开始，我们将进入第13章“三角形的边角关系、命题与证明”的学习。小学时我们就认识了三角形，本章我们将继续学习三角形的概念、分类、性质和应用。这节课，我们先来探究三角形的有关概念和三角形三边之间的关系。通过本节课的学习，希望大家能有以下收获：一、能理解三角形的概念及基本元素，能正确识别和表示三角形；二、能根据边长关系对三角形进行分类；三、能掌握三角形三边之间的关系，并会应用三边关系解决实际问题；四、在学习过程中体会研究几何图形的一般方法。
请大家准备好笔和作业本，下面开始本节课的新课学习。三角形在我们的生活中有着广泛的应用，比如蛋糕的侧面是三角形的，魔方的表面有很多三角形，墙上有三角形的装饰，自行车的主架也是三角形形状。那么，什么样的图形叫三角形呢？请根据小学认识的三角形，判断下列图形是不是三角形。
（稍作停顿）相信大家已经有了判断的结果，我们来看一下：第一个图形是三角形；第二个图形不是三角形，因为这两条线虽然相交了，但端点没有连接；第三个图形是由四条线段组成的，所以不是三角形；最后一个图形有两条线没有连接，不是封闭图形，所以也不是三角形。
请大家再想一想，什么样的图形才能叫做三角形呢？像上面的第一个图形，由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接组成的封闭图形叫做三角形。这里为什么要强调不在同一条直线上呢？我们来看这样一个例子，这里有三条线段，a等于5厘米，线段b等于12厘米，线段c等于7厘米。我们让三条线段首尾依次相接，a和b相接，b和c相接，最后让c和a相接，大家发现了什么？因为线段a与c的长度之和正好等于线段b的长度，所以当这三条线段首尾依次相接时，它们在同一条直线上，不能组成三角形。因此，我们将三角形的概念严谨准确地表述为：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接组成的封闭图形叫做三角形。
学习了三角形的概念，我们又该如何用数学符号来表示一个三角形呢？三角形又有哪些组成元素呢？同学请看，这里有一个三角形，它是由哪三条线段围成的呢？要想表示出这三条线段，我们需要用大写字母来标出线段的端点，例如我们用点A、B、C来表示它们的端点。这里的点A、B、C叫做这个三角形的顶点，线段AB、BC、CA叫做这个三角形的边，∠A、∠B、∠C叫做这个三角形的内角，简称三角形的角。
这里需要注意，三角形的角与我们之前学习的角是有区别的，角的两边是射线，而三角形的角的两边是线段。我们发现边和角是构成三角形的基本元素，一个三角形是由三条边和三个内角组成的。我们把以A、B、C为顶点的三角形记作△ABC，读作“三角形ABC”。
我们知道线段除了用两个大写字母表示，还可以用一个小写字母来表示。类似的，三角形的三条边，有时也可以用它所对角的相应的小写字母来表示，如边BC对着角A，记作a，我们把角A叫做边BC的对角，把边BC叫做角A的对边。同样的，边AC对着角B，记作b，边AB对着角C，记作c。所以在三角形的相关概念中，顶点、边、内角之间存在着对应关系。
如图，对于三角形ABC来说，它的顶点分别是点A、点B、点C，那么它们各自对应的边和内角分别是什么呢？点A所对的边是BC，也可以用小写字母a来表示，这条边所对的内角是∠A。我们再来看，点B所对的边是AC，也可以用小写字母b来表示，它所对的内角是∠B。同样的，点C所对的边是AB，也可以用小写字母c来表示，它所对的内角是∠C。我们可以由顶点找对应的边，由边找对应的内角，反过来也可以由角找到对边和顶点。
刚才我们学习了三角形的相关概念，下面我们通过几个具体的例子来加深一下理解。如图，点D是三角形ABC中BC边上一点，连接AD。请大家试着完成下面的填空。
（稍作停顿）大家填好了吗？来看一下答案，和老师的一样不一样。第一小题，这里大三角形ABC被线段AD分割成了两个小三角形，所以图中共有三个三角形，它们分别是△ABD、△ADC和△ABC，大家找全了吗？第二小题，以点D为顶点的三角形有，我们关注到点D既是△ABD，也是△ADC的顶点，它是这两个三角形公共的顶点。以AB为边的三角形，我们看图，AB是△ABD的一条边，还有吗？仔细观察会发现它也是△ABC的边，也就是说边AB是△ABD和△ABC的公共边。第三小题，△ADC的角有，我们先找到△ADC，不难发现它的角有∠ADC、∠C和∠DAC。第四小题，∠B是△ABD中边AD的对角，AD是△ADC中∠C的对边。边和角是构成三角形的基本元素。
下面我们先从边的角度来研究三角形的分类和三角形三边之间的数量关系。我们首先来看三角形按边长关系如何分类，我们知道三角形的三边是三条线段，在七年级时我们学过线段的长短比较，线段之间最明显的数量关系就是长度是否相等，于是我们依据三角形中是否有两条边相等，将三角形进行分类。其中三条边互不相等的三角形叫做不等边三角形，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，第三条边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。如果等腰三角形的腰与底边也相等，此时三角形的三条边都相等了，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。由此我们可以知道，等边三角形其实是腰和底边相等时的特殊的等腰三角形。因此，三角形按边长关系可以分为两大类，一类是不等边三角形，一类是等腰三角形，其中等边三角形是等腰三角形的特例。三角形按边长关系进行分类，也可以这样表示。
学习了按边长关系对三角形进行分类，下面我们一起来看一个有关三角形边长关系的生活实例。在如图所示的三角形路口，老师想从A处走到B处，有两条路可以选择，一条是从A沿AB直接走到B，路程为AB的长；另一条是从A沿AC先走到C，再从C沿CB走到B，路程是AC与BC长度之和，即AC + BC。大家能帮老师选一条路程较短的线路吗？
（稍作停顿）生活经验告诉我们，路程AB更短一些，也就是说AC + BC＞AB，大家知道这是为什么吗？如果我们把点A和点B看成两个定点，则AB是连接这两个定点的线段。依据“两点之间的所有连线中，线段最短”，可以得到AC + BC＞AB。同理，如果我们把点A和点C看成两个定点，可以得到AB + BC＞AC；把点B和点C看成两个定点，则可以得到AB + AC＞BC。这里我们得到了三角形ABC三边长的三个不等关系式。请大家思考一下，能不能用文字语言描述出这种不等关系呢？