师：同学们大家好，今天我们一起来学习一次函数第8课时。之前我们学习了利用分段函数解决实际问题和方案选择问题，以及利用一次函数解决实际问题的方式，其中主要渗透了数形结合的思想。今天我们继续学习一次函数在销售方面的应用。下面来看一道今年广安中考的改编题。
国庆节，某超市为满足人们购物需求，计划购进甲、乙两种水果销售。大家看这个表格，呈现了甲、乙两种水果的进价与售价，但此时甲、乙两种水果的进价未知，分别用x和x + 4这两个代数式表示。
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同。同学们想一想，给了总钱数且等量关系为重量相等，我们要借助什么来表示重量呢？对，借助进价。那如何表示甲种水果的重量呢？总钱数1200元，进价为x，所以甲种水果重量为1200÷x。同样，乙种水果重量为1500÷(x + 4)。根据等量关系可列出方程：1200/x = 1500/(x + 4) 。
细心的同学会发现，这正是我们七年级学过的分式方程，需要转化成整式方程求解，解出整式方程的解后，最关键的一步是什么？对，检验，要检验所得方程的解是否为原分式方程的解。解得方程的解为x = 16，经检验，x = 16是原分式方程的解，而且因为是实际问题，16这个数也符合实际意义。
通过第一问，甲乙两种水果的进价与售价就都已知了。下面来看第二问，若超市购进这两种水果共300千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍。则超市应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？
题目给了两个条件，一是两种水果总重量为300千克，即甲种水果重量 + 乙种水果重量 = 300千克；二是甲种水果重量不低于乙种水果重量的3倍，这是甲乙两种水果之间的不等关系。我们要求最大利润，利润怎么表示呢？两种水果的总利润是甲种水果利润加上乙种水果利润。
假如设购进甲种水果m千克，那么乙种水果就是(300 - m)千克，这里要注意，300 - m是多项式，后面有单位，所以要打上括号。设利润为y万元。
已知甲种水果进价为16元，乙种水果进价为16 + 4 = 20元，售价也清楚了，就能表示出每千克甲乙两种水果的利润。进而得出总利润y = (25 - 16)×m + (30 - 20)×(300 - m) ，化简后得到函数关系y = -m + 3000 ，这是关于甲种水果重量的一次函数关系。
要想求出y的最大值，题目中“甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍”这句话有什么作用呢？对，起限制作用。由此可得出不等式m ≥ 3×(300 - m) ，解这个不等式得m ≥ 225 。又因为总共购进300千克水果，所以m的取值范围是m ≥ 225且m < 300 。
此时一次函数y = -m + 3000的图像不再是一条直线，而是一条线段。我们可以画出图像找出最高点得出最大值，也可以结合一次函数的增减性来求解。y = -m + 3000中系数k = -1 < 0 ，y随m的增大而减小，所以m要取最小值时，y才能取最大值。当m = 225时，y取得最大值。
最大利润是多少呢？把m = 225代入函数关系式，可求出最大利润为2775元。最后作答：购进甲种水果225千克，乙种水果75千克，可获得最大利润为2775元。这就是利用一次函数性质去解决最值问题，也就是最大利润问题。一次函数性质是：k > 0时，对于y = kx + b来说，y随x增大而增大；k < 0时，y随x增大而减小。
接下来看变式第三问，在第一问的条件下，也就是已知甲乙两种水果的进价和售价的情况下，水果经销商对乙种水果的批发价格根据超市的购买量给予优惠，购买越多，优惠力度越大。设该超市购进乙种水果a千克，付款y万元，y与a之间的函数关系如图所示。请写出当a ≥ 0且a ≤ 100以及a > 100时，y与a之间的函数关系式。
这让我们联想到前面学过的分段函数，从图像能看出分成两段，0 - 100一段，100以上一段。我们分别求出这两段的函数关系式，最终得出解析式为：当0 ≤ a ≤ 100时，y = 20a ；当a > 100时，y = 14a + 600 。
第四问，在第三问条件下，若超市仍然购进这两种水果共300千克，且超市购买甲种水果所获得的利润W1大于购买乙种水果所获得的利润W2，则需至多购买多少千克乙种水果？
因为是分段函数，所以要分成两段讨论。第一，当a ≥ 0且a ≤ 100时，甲种水果所获利润W1 = (25 - 16)×(300 - a) = -9a + 2700 ，乙种水果所获得利润W2 = (30 - 20)×a = 10a 。题目说W1 > W2 ，所以可列出不等式 -9a + 2700 > 10a ，解得a < 2700 / 19 ，又因为a ≥ 0且a ≤ 100 ，所以得出此范围的解集。
第二，当a > 100时，乙种水果的利润为W2 = 14a + 600 - 20a = -6a + 600 ，同样根据W1 > W2 ，列出不等式 -9a + 2700 > -6a + 600 ，解得a < 700 。再结合a > 100 ，得出解集为100 < a < 700 。但题目要求至多购买多少千克乙种水果，且水果重量为正整数，综合两个范围，得出a ≥ 0且a < 132 ，所以最多可以购买131千克乙种水果。
再看下面一问，还是在第三问的情况下，已知乙种水果所付钱数的分段函数关系，超市决定在甲乙两种水果中选购其中一种，且数量超过100千克。请帮助超市判断购进哪种水果比较省钱。
设购进水果数量为a千克（a > 100），甲种水果总钱数为16a ，乙种水果总钱数因为a > 100，所以是14a + 600 。要比较哪种水果更省钱，我们可以利用不等式来解决。
当16a > 14a + 600时，解得a > 300 ，此时乙种水果省钱；当16a = 14a + 600时，解得a = 300 ，此时甲乙两种水果费用一样，进甲、乙两种超市都可以；当16a < 14a + 600时，解得100 < a < 300 ，此时甲种水果省钱。所以要根据购买重量的不同来决定选择购进哪种水果。
通过这些题目，我们利用一次函数的性质，以及一次函数与不等式、方程之间的关系，解决了一次函数在销售方面的应用问题。下面我们来完成一组练习。
某水果超市内，甲种水果的销售利润Y1与进货量x之间的函数图像如图一所示，乙种水果的销售利润Y2与进货量x之间函数图像如图二所示。从图像结合分析可知，第一个图像是正比例函数，Y1 = kx ；第二个图像是一次函数，Y2 = ax + b 。
第一问，让我们分别求出Y1、Y2与x的函数关系式。同学们花两三分钟做一下。
好，非常好。对于Y1 = kx ，把点的坐标代入就能求出k的值；对于Y2 = ax + b ，把(5, 20)、(50, 40)这两个点代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b即可。最终可得解析式为Y1 = 2x ，Y2 = 3x - 10 。同学们都做对了吗？
求出解析式后，利用解析式继续解决问题。第二问，水果超市准备购进甲、乙两种水果共12吨，其中甲种水果至少4吨，乙种水果至少1吨。无论如何进货，全部售出后最少获得多少利润？如何进货利润最大？最大利润是多少？
设购进乙种水果x吨，水果批发市场获利y万元，那么全部售出后的利润y = Y1 + Y2 = 2x + (3x - 10) = 5x - 10 。由题意可知x的取值范围为1 ≤ x ≤ 8 ，因为甲种水果至少4吨，乙种水果至少1吨。
根据一次函数的增减性，y随x增大而增大，所以要想获得最少利润，x应取最小值；要想获得最大利润，x应取最大值。当x = 1时，y取得最小值，最小利润是 -5 + 10 = 5千元；当x = 8时，y取得最大值，最大利润是5×8 - 10 = 30千元。所以无论如何进货，全部售出后最少可获得利润5千元，最大可获得利润30千元。同时要给出进货方案，即当x = 1时，购进甲种水果11吨，乙种水果1吨利润最小；当x = 8时，购进甲种水果4吨，乙种水果8吨利润最大。
这是我们讲的第二个练习，同样涉及利用一次函数增减性去解决一次函数在销售方面求利润的问题。
再看第二个问题，某水果超市要组织10辆汽车装运完A、B、C三种不同的水果共100吨到外地销售。按计划10辆汽车都要装满，且每辆汽车只能装同一种水果。根据表格中的信息解答问题。表格呈现的是A、B、C三种水果每辆车能装的吨数以及每吨水果的利润。
第一问，设装A种水果车辆数为x辆，装运B种水果车辆数为y辆，求y与x之间的函数关系式。同学们思考一下。
非常好，一起来看。装A种水果车辆数为x，装B种水果车辆数为y，那么装C种水果的车辆数为10 - x - y 。根据水果总重量为100吨，可列出方程12x + 10y + 8×(10 - x - y) = 100 ，化简可得y = 10 - 2x ，这样就列出了y与x之间的函数关系式。
列完函数关系后，看第二问，若装运每一种水果的车辆都不少于两辆，则车辆安排方案有几种？写出每种安排方案。同学们思考一下。
因为装C种水果的车辆数10 - x - y = 10 - x - (10 - 2x) = x ，又因为每种水果的车辆都不少于两辆，所以x ≥ 2 ，y = 10 - 2x ≥ 2 ，10 - x - y = x ≥ 2 ，解y = 10 - 2x ≥ 2这个不等式可得x ≤ 4 ，所以x的取值范围是2 ≤ x ≤ 4 。因为车的辆数是正整数，所以2到4范围内的整数有2、3、4，共三种。
车辆的安排方案有三种：
方案一，安排2辆汽车运A种水果，6辆汽车运B种水果，2辆汽车运C种水果；
方案二，安排3辆汽车运A种水果，4辆汽车运B种水果，3辆汽车运C种水果；
方案三，安排4辆汽车运A种水果，2辆汽车运B种水果，4辆汽车运C种水果。
第三问，在解决了这么多方案的情况下，若要使此次销售获利最大，应该采用哪一种安排方案并求出最大利润？同学们计算一下。
有的同学说，因为已经给出三种方案，可以分别求出三种方案所对应获得的利润，然后比较大小求出最大利润，这种方法可行。那我们也可以像之前例题那样，利用一次函数的增减性去解决问题。
设销售利润为w万元，则w = 3×12x + 4×10×(10 - 2x) + 2×8x = -28x + 400 。因为k = -28 < 0 ，w随x的增大而减小。在2 ≤ x ≤ 4这个范围内，x应取最小值，w才能取得最大值。当x = 2时，w最大值为 -28×2 + 400 = 344万元。所以采用方案一可获得最大利润，最大利润为344万元，应用题要作答。
本节课我们主要学习了利用一次函数解决实际问题。在日常生活和生产实践中，不少问题的数量关系可以用一次函数来刻画。应用一次函数时，要结合实际确定自变量的取值范围，因为一次函数图像通常是一条直线，确定取值范围后可能变成线段或射线，再结合一次函数的增减性找出最值，从而解决生活中常见的利润问题。
具体步骤如下：第一，从已知条件出发，通过数学建模得出一次函数解析式，就像我们刚才例题、练习中的第一问，都是先求一次函数关系式；第二，根据实际问题中自变量的取值范围，结合一次函数的性质（k > 0时，y随x增大而增大；k < 0时，y随x增大而减小），确定函数的最值。所以本节课重点是在数形结合思想基础上，利用一次函数的增减性求最大值或最小值。
今天的作业是完成教材第64页B组复习题第7题和C组复习题第1题。好，今天的课就上到这，同学们再见。