师：同学们好，很高兴和大家一起走进今天的数学课堂。今天我们要学习初中数学北师大版八年级下册第四章第三课公式法第一课时。我们先共同复习七年级学过的内容。请大家填空，将它们的结果写成一个多项式。
（x + 5）（x - 5） = x2 - 25；
（3x + y）（3x - y） = 9x2 - y2；
（3m + 2n）（3m - 2n） = 9m2 - 4n2。
请你思考，在刚才的计算当中用到了整式乘法中的哪些知识？能回忆起来吗？
生：用到了平方差公式，(a + b)(a - b) = a2 - b2 。
师：非常好。现在请同学们逆向思维思考，尝试将它们的结果写成两个因式的乘积。
x2 - 25 = （x + 5）（x - 5）；
9x2 - y2 = （3x + y）（3x - y）；
9m2 - 4n2 = （3m + 2n）（3m - 2n）。
对比上下两组题，观察上面整式乘法和下面因式分解，你有什么发现呢？请带着你的思考进入下面的环节。
在边长为 a 的正方形中减去一个边长为 b 的小正方形，把剩余的部分剪成一个新的长方形。请同学们观察刚才的拼图过程，你能写出相应的关系式吗？
生：a2 - b2 = （a + b）（a - b）。
师：这个关系式与我们学习过的平方差公式有什么区别和联系呢？我们一起来回顾七年级学过的内容。这个关系式从左到右，是整式乘法中的平方差公式。文字语言表述为：两数和与这两数差的积等于它们的平方差。将这个公式反过来就是因式分解，也就是我们在因式分解中的平方差公式，这也是我们这节课要学习的重要内容。你能尝试用语言叙述一下这个公式吗？
生：因式分解的平方差公式，语言叙述为两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积。
师：非常棒。整式乘法的平方差公式和因式分解的平方差公式是互逆的关系。在因式分解中，平方差公式具有怎样的结构特征呢？我们共同来看一看。先从公式的左边入手，公式的左边是一个两项式，可以简单记成一个平方减去一个平方的形式。再看公式的右边，公式的右边是两个多项式相乘，具体说是两项的和乘以两项的差。这个平方差公式也可以根据公式的特点形象地表示成。要判断能否用平方差公式来进行因式分解，首先这个多项式可以写成平方减平方的形式。运用这个公式的时候，最终的结果是两个底数的和乘以这两个底数的差。
我们共同来看一个简单的问题，请同学们观察 m2 - 4 这个多项式有什么特征？你能把它因式分解吗？
生：m2 - 4 可以写成 m2 - 22，它是 m 与 2 的平方差，按照平方差公式，它应该等于（m + 2）（m - 2）。
师：非常好。看例题。例 1，把下列各式因式分解。
25 - 16x2。说说看，在这个式子中，应该把谁看成公式中的 a？把谁看成公式中的 b？
生：25 - 16x2 可以写成 52 - （4x）2，此时应该把 5 看成公式中的 a，把 4x 看成公式中的 b。然后根据平方差公式，因式分解的结果应该是（5 + 4x）（5 - 4x）。
师：很好。第二小题，9a2 - 1/4 b2。请同学们思考，在这个式子中又把谁看成公式中的 a？把谁看成公式中的 b？
生：9a2 - 1/4 b2 可以写成（3a）2 - （1/2 b）2，此时把 3a 看成公式中的 a，1/2 b 看成公式中的 b，然后根据平方差公式得到结果是（3a + 1/2 b）（3a - 1/2 b）。
师：非常正确。接下来我们共同看几个例子。第一个，分解因式 - x2 + y2。这个式子从形式上看好像和平方差公式有点不太一样，它能用平方差公式进行分解因式吗？同学们可以思考一下。如果能，在这个式子中应该把谁看成公式中的 a，把谁看成公式中的 b？
生：虽然这个式子看上去与平方差公式有点不太一样，但是只要把它写成 y2 - x2 的形式就与平方差公式基本一致了。此时可以把 y 看成公式中的 a，把 x 看成公式中的 b。因此，分解因式的结果应该是（y + x）（y - x）。
师：非常好。我们要知道，需要分解的两项式必须一项是正的，另一项是负的。正的一项相当于公式中的 a2，负的一项相当于公式中的 - b2。明白这一点就不会被表面形式所迷惑了。想一想，如果把这个式子中的加号变成减号， - x2 - y2 还能进行分解吗？
生：很显然是不能分解的。
师：对。接下来看第二个，分解因式 9（m + n）2 - （m - n）2 如何分解呢？同学们可以思考一下。
生：这个式子可以变成 [3（m + n）]2 - （m - n）2。此时我们会把 3（m + n）看成公式中的 a，m - n 看成公式中的 b，然后根据平方差公式分解因式得到 [3（m + n） + （m - n）][3（m + n） - （m - n）]，即（4m + 2n）（2m + 4n）。
师：这里可以结束吗？请仔细观察。
生：我们会发现 4m + 2n 这个多项式中出现了公因式 2，2m + 4n 这个多项式中也出现了公因式 2，所以我们要沿用上节课的方法继续提取公因式进行因式分解。结果是 4（2m + n）（m + 2n）。
师：非常好。通过平方差公式的运用可以发现公式中的 a、b 不仅可以表示任意单项式，也可以表示任意多项式。当它们表示多项式时，分解后的两个因式往往还需要去括号、合并同类项等过程进行整理化简。
第三个问题，分解因式 2x3 - 8x。这个式子出现了立方，不能改写成平方减平方的形式，也就是说这个多项式目前不能用平方差公式进行因式分解，那是不是就不能进行因式分解了呢？当你遇到困难时，请回忆以前学过的知识，请同学们思考一下。
生：上节课我们学习过提公因式法进行因式分解，那么这个多项式中是否含有公因式呢？通过观察发现，2x3 - 8x 这个多项式中的两项中都含有 x。为了把立方变成平方，可以把公因式 x 提出来，同时不要忘记了 2 也是公因式，因此把 2x 提出来，得到 2x（x2 - 4），先写成 2x（x2 - 22），最终结果是 2x（x + 2）（x - 2）。
师：这一题是提公因式法和平方差公式两种因式分解方法的综合运用。当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步分解。先归纳一下什么样的多项式适合用平方差公式来进行因式分解呢？