师：同学们好，今天我们一起来学习初中数学北师大版八年级下册第六章第二节平行四边形的判定第二课时。先来回顾一下平行四边形的相关知识。
师：一、平行四边形的定义是什么？它有什么作用呢？两组对边分别平行的四边形是平行四边形。它既是平行四边形的性质，可以用来判断两条直线互相平行，又是判定平行四边形的一个方法。
师：二、平行四边形有哪些性质呢？平行四边形的两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分。
师：三、判定四边形是平行四边形的方法有哪些呢？通过上两节课的学习，我们知道两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。那对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？带着这个问题，开始我们今天新课的学习。
师：课前已经让同学们准备了两根长度不同的细木条。你能否用不同长度的两根细木条合理摆放，使得连接四个顶点后成为平行四边形呢？同学们先动手操作一下。
生：（动手操作）
师：我们可以看到，只要两根木条的中点重合在一起，那木条的四个顶点所连的四边形看起来就是平行四边形，不管怎么动，木条四个顶点所连的四边形看起来仍然是平行四边形。所以我们猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形。不过，通过观察得到的结论是不可靠的，所以我们对这个结论还要加以证明。这个命题的条件是一个四边形的两条对角线互相平分，结论是这个四边形是平行四边形。所以我们根据条件和结论把它转化成图形和符号语言。
师：已知，如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，并且OA = OC，OB = OD。求证：四边形ABCD是平行四边形。同学们思考一下，这题该如何解决呢？
生：（思考）
师：证明一个四边形是平行四边形，我们现在有三种方法：一、两组对边分别平行；二、两组对边分别相等；三、一组对边平行且相等，都可以得到一个四边形是平行四边形。在这里，我选择用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一方法来证明。我选择证明AD平行于BC且等于BC。下面我们来看看具体的证明过程。
师：因为OA = OC，OD = OB，∠AOD = ∠COB（对顶角相等），所以△AOD≌△COB。由全等我们又可以得到，AD = CB，∠ADO = ∠CBO。由这两个内错角相等，我们可以得到两直线平行，即AD平行于BC。又因为AD平行于BC且等于BC，所以四边形ABCD是平行四边形。
师：现在我们就完成了这个命题的证明。同学们，你还有其他方法证明四边形ABCD是平行四边形吗？思考后请写在草稿纸上。
生：（思考并书写证明过程）
师：相信同学们都已经用各自的方法证明出来了，这也说明了我们刚才的猜想是正确的。由此，我们又得到了一个平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。在这里，对角线互相平分是条件，这个四边形是平行四边形是结论。由此我们得到它的符号语言是：因为OA = OC，OB = OD，所以四边形ABCD是平行四边形。注意，它是判定一个四边形是平行四边形的方法，所以当我们在题目中看到对角线相等的条件时，就可以选择这一方法。我们利用这一方法看看能不能解决下列问题。
师：例2，已知如图，EF是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE = CF。求证：四边形BFDE是平行四边形。同学们思考一下，这一题该如何证明呢？
生：（思考）
师：这一条件只有两条：一、四边形ABCD是平行四边形；二、对角线上两段AE = CF。让我们证明四边形BFDE是平行四边形。因为四边形ABCD是平行四边形，所以我们可以得到对边平行、对边相等、对角线互相平分等结论。但只有对角线BD既是四边形ABCD的对角线，也是四边形BFDE的对角线。所以在这里，我选择用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理来证明。下面我们来看看具体的证明过程。
师：连接BD交AC于点O。因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA = OC，OD = OB（利用平行四边形的性质定理）。又因为AE = CF，所以OA - AE = OC - CF，即OE = OF。最后我们得到四边形BFDE是平行四边形（用到“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）。同学们在以后的解题过程中，希望大家多思考，多分析，找到恰当的依据，简便我们的方法。
师：下面我们来看变式训练。对于上述例题，若EF继续移动至OA、OC的延长线上，仍使AE = CF，则结论还成立吗？同学们思考一下，这一题该如何证明呢？
生：（思考）
师：变式训练和例2的条件一样，都是两个，只是E、F两点在对角线的延长线上了，只需把两段相加就可以得到新四边形的对角线EF也被平分了，又因为OB = OD即可得到结论。下面我们来看看具体的证明过程。