师：同学们好，今天我们继续学习初中数学北师大版八年级下册第六单元第一节平行四边形的性质第二课时。首先来了解本节课的学习目标。一是探索并证明平行四边形对角线互相平分的性质，进一步提高逻辑推理能力，这也是本节课的学习重点；二是应用平行四边形对角线性质解决问题，提高分析问题、解决问题的能力，体会图形性质探究的一般思路，这也是本节课的学习难点。下面请同学们回忆并利用上节课所学知识填写表格。
上节课我们学到平行四边形的定义及两个性质，由此可知平行四边形对边平行且相等，对角相等。对于邻边，上节课未具体研究，通过观察不同平行四边形，发现邻边大小关系各异。对于邻角，同学们看，角A与角B、角B与角C、角C与角D、角D与角A，从位置关系上看，它们是同旁内角。由于平行四边形对边平行，所以这些邻角互补，即平行四边形邻角互补，且有四对互补的角。另外，上节课我们还学习了平行四边形一个很重要的性质：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。
那平行四边形的对角线有什么性质呢？这就是我们这节课要学习的内容。下面开启探究之旅，请同学们拿出在纸上画的两个全等的平行四边形ABCD和平行四边形EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、FH，设它们分别交于点O。把这两个平行四边形重叠在一起，在点O处钉一个图钉，将平行四边形EFGH绕点O沿顺时针方向旋转180度，观察它还能和平行四边形ABCD重合吗？请同学们开始操作。
提醒同学们两点：一是这两个平行四边形要重合，对角线交点也要重合，在对角线交点O处钉图钉，将平行四边形EFGH绕点O沿顺时针方向旋转180度；二是本节课主要学习平行四边形对角线的性质，请同学们操作过程中多留意观察对角线。
我们一起来看，将平行四边形EFGH绕点O沿顺时针方向旋转180度后，它能够和平行四边形ABCD重合。为什么呢？因为平行四边形是中心对称图形，绕着它的对称中心，也就是对角线的交点旋转180度，能和自身重合，也就能够与和它重合的平行四边形重合。
那大家观察到平行四边形的对角线有什么特征吗？我们再看一遍。旋转前，线段OE与线段OA重合，线段OF与线段OB重合；旋转后，线段OC与线段OE重合，线段OA与线段OC先后与线段OE重合，这说明线段OE与线段OA和线段OC都相等，即OA = OC，O是AC的中点。同样，线段OF在旋转后与OD重合，线段OB与线段OD先后与线段OF重合，这说明OB = OD，O是BD的中点。也就是说，对角线AC平分了对角线BD，对角线BD也平分了对角线AC。由此我们猜想：平行四边形的对角线互相平分。这个猜想是否正确呢，还需要经过严格的几何论证。下面请同学们跟着我一起来证明这个猜想。
在写出已知与求证前，我们要根据“平行四边形的对角线互相平分”这个命题来画出图形。已知是命题的条件，求证是它的结论。“平行四边形的对角线互相平分”，其条件是平行四边形的对角线，结论是对角线互相平分。写成几何语言就是：已知如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，求证OA = OC，OB = OD。如何证明呢？请同学们思考并写出证明过程。
我们要证明OA = OC，OB = OD，即证明两组线段相等。观察图形，它们恰好在三角形OAB与三角形OCD中，是否可以通过证明三角形全等来完成呢？看条件，平行四边形ABCD中，平行四边形对边平行且相等，所以AB平行且等于CD，这就是证明三角形全等的一个条件。由AB平行于CD，还能得到两组内错角相等，这样就有三个条件可以证明三角形全等，从而得出OA = OC，OB = OD。
我们来看证明过程：
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB = CD，AB平行于CD。所以∠BAO = ∠DCO，∠ABO = ∠CDO。所以三角形ABO全等于三角形CDO（ASA），所以OA = OC，OB = OD。
大家是这样证明的吗？还有其他证明方法吗？我们刚才证明的是左右两个三角形全等，大家看上下两个三角形，也就是三角形OAD与三角形OBC，已标在图上。由平行四边形ABCD可得AD平行且等于BC，这是证明三角形全等的一个条件。由AD平行于BC，可得到两组内错角相等，这样又能用三个条件证明三角形OAD全等于三角形OCB，从而得出结论。
我们来看一下证明过程：
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD = BC，AD平行于BC。所以∠DAO = ∠BCO，∠ADO = ∠CBO。所以三角形DAO全等于三角形BCO（ASA），所以OA = OC，OB = OD。
这两种方法都证明了我们猜想的正确性，由此我们得到平行四边形对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分。几何语言表示为：因为平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，所以OA = OC，OB = OD。在这里，“平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O”是条件，由这个条件就能得到“OA = OC，OB = OD，对角线互相平分”的结论，对角线的交点O既是对角线AC的中点，也是对角线BD的中点。
至此，我们学习了平行四边形对边、对角线的性质，请同学们对平行四边形的性质进行系统总结，以便灵活运用。下面我们看例2。
已知如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD、BC分别相交于点E、F，求证OE = OF。请同学们思考并写出证明过程。
我们来看已知条件，如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，这恰好是我们刚总结的平行四边形对角线互相平分性质的条件，由这个条件可得出OA = OC，OB = OD。要求证OE = OF，观察图形，这两条线段分别在两个三角形中，是否可以通过证明三角形全等来完成呢？看三角形ODE与三角形OBF，已有对应边OB = OD。还有什么条件呢？由平行四边形ABCD可得AD平行于BC，进一步得到∠ODE = ∠OBF（内错角相等）。又因为过点O的直线与AD、BC交于点E、F，说明直线EF与BD相交于点O，可得∠DOE = ∠BOF（对顶角相等）。这样三个条件就可以证明三角形DOE全等于三角形BOF，从而得到OE = OF。
我们来看证明过程：
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以DO = BO（平行四边形的对角线互相平分），AD平行于BC，所以∠ODE = ∠OBF。又因为∠DOE = ∠BOF，所以三角形DOE全等于三角形BOF（ASA），所以OE = OF。
接下来我们看做一做。
如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB = 90°，OA = 6，OB = 3。求AD和AC的长度，并写出计算过程。
我们来看，如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得OA = OC，OB = OD。题目中已知OA = 6，那么OC也等于6；OB = 3，OD也等于3，所以很容易求出AC的长度。又因为∠ADB = 90°，同学们看图，从图中可看出三角形OAD是直角三角形，在直角三角形OAD中，已知OA = 6，OD = 3，求另一条直角边AD的长度，利用勾股定理计算即可。
我们来看计算过程：
解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA = OC = 6，OB = OD = 3（平行四边形的对角线互相平分），所以AC = 12。又因为∠ADB = 90°，所以在直角三角形ADO中，根据勾股定理OA2 = OD2 + AD2，所以AD2 = OA2 - OD2 = 62 - 32 = 27，所以AD = 3√3。