师：同学们，你们好，今天我们学习初中数学北师大版八年级下册第二章第五节“一元一次不等式与一次函数”第二课。请同学们准备好学习用具。上节课我们借助函数的图像感受了一元一次不等式与一次函数的关系。下面我们通过两个题目先来复习一下。
问题一，若(Y_1 = -2X - 2)，(Y_2 = 3X + 3)，确定当(X)取何值时，(Y_1 < Y_2)。大家自己先想想看。
师：大家想好了吗？解决这个问题有几种方法，我们一起来看。
第一种方法，利用一元一次不等式来解决。由(Y_1 < Y_2)，可得出不等式(-2X - 2 < 3X + 3)，求出它的解集，就能确定(X)的值。来看具体的解题过程。
第二种方法，利用一次函数的图像来解决。在平面直角坐标系中画出两个函数的图像，找出直线(Y_2 = 3X + 3)在直线(Y_1 = -2X - 2)上方的点的横坐标的取值范围。来看具体的图像。观察图像，两条直线的交点坐标为(( -1, 0))。找出直线(Y_2 = 3X + 3)在直线(Y_1 = -2X - 2)上方的图像，这部分图像上点的横坐标的范围就是所求的(X)的值。观察图像，它们的横坐标都大于(-1)。由图像可知，当(X > -1)时，(Y_1 < Y_2)。
来看问题二。如图，(L_1)反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，(L_2)反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系。当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利。该产品的销售量达到多少吨时，生产该产品才能盈利？请同学们先来思考。
师：大家想好了吗？我们一起来看。从图像的角度理解，产品盈利反映的是直线(L_1)在直线(L_2)上方的部分。这部分图像上的点的横坐标的范围就是我们所要找的自变量(X)的值。观察图像，直线(L_1)、(L_2)交点坐标为((4, 0))。直线(L_1)在直线(L_2)上方的点，它们的横坐标都大于(4)。因此，由图像可得销售量超过(4)吨时生产该产品才能盈利。
下面我们将利用一元一次不等式与一次函数的关系来解决生活中的实际问题。某电信公司有甲、乙两种手机收费业务，甲种业务规定月租费(10)元，每通话(1)分钟收费(0.3)元；乙种业务不收取月租费，但每通话(1)分钟收费(0.4)元。你认为何时选择甲种业务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？请同学们思考这个问题该如何解决。
师：这个问题反映的是两个变量，通话费用与通话时间的一种对应关系。你们能列出函数关系式吗？动手列一列。
师：同学们完成了吗？我们来看。设顾客每月的通话时间为(X)分钟，选择甲种业务时所需费用为(Y_甲)元，选择乙种业务时所需费用为(Y_乙)元。根据题意，我们可以得出(Y_甲 = 10 + 0.3X)，(Y_乙 = 0.4X)。接下来该如何求解呢？请同学们自己先来试一试。
师：好，大家一起看一看。选择哪种业务更合算，实际上就是让我们比较(Y_甲)和(Y_乙)的大小。我们可以分类讨论，很容易得出三种情况：甲的费用等于乙的费用，则(Y_甲 = Y_乙)；甲的费用高于乙的费用，则(Y_甲 > Y_乙)；甲的费用低于乙的费用，则(Y_甲 < Y_乙)。
由(Y_甲 = Y_乙)，我们可以得到方程(10 + 0.3X = 0.4X)，求出这个方程的解，我们就知道了费用相同时所需的时间。
由(Y_甲 > Y_乙)，我们可以得出一元一次不等式(10 + 0.3X > 0.4X)，求出这个不等式的解集，我们就知道了通话时间在什么范围内，选择乙种业务更合算。
由(Y_甲 < Y_乙)，我们同样也可以得到一元一次不等式(10 + 0.3X < 0.4X)。
师：求出这个不等式的解集，我们就知道了通话时间在什么范围内，选择甲种业务更合算。通过分析我们发现这个函数问题就转化成了不等式与方程，我们只要求出不等式的解集和方程的解，就可以解决问题了。接下来请同学们完成这道题的解答过程。
师：我们一起来规范一下解题过程。解：设顾客每月的通话时间为(X)分钟，选择甲种业务时所需费用为(Y_甲)元，选择乙种业务时所需费用为(Y_乙)元，则(Y_甲 = 10 + 0.3X)，(Y_乙 = 0.4X)。
当(Y_甲 = Y_乙)时，(10 + 0.3X = 0.4X)，解得(X = 100)。
当(Y_甲 > Y_乙)时，(10 + 0.3X > 0.4X)，解得(X < 100)。
当(Y_甲 < Y_乙)时，(10 + 0.3X < 0.4X)，解得(X > 100)。
所以，当通话时间超过(100)分钟时，甲种业务对顾客合算；当通话时间为(100)分钟时，两种业务收费一样；当通话时间小于(100)分钟时，乙种业务对顾客合算。
下面我们一起来看例题。某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为(10 - 25)人。甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人(200)元。经过协商，甲旅行社表示可以给予每位游客七五折优惠，乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠。该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？请同学们自己想一想该如何求解。
师：我们来分析一下。这个问题反映了两个变量，旅游费用与旅游人数之间的对应关系。设单位参加这次旅游的人数是(X)人，选择甲旅行社时所需费用为(Y_1)元，选择乙旅行社时所需的费用为(Y_2)元。你能列出函数关系式吗？请同学们写一写。
师：大家一起来看。甲旅行社每人费用为(200×0.75 = 150)元，甲旅行社(X)人总费用为(150X)元，所以(Y_1 = 150X)。乙旅行社每人费用为(200×0.8 = 160)元，乙旅行社(X)人总费用为(160(X - 1))元，所以(Y_2 = 160(X - 1) = 160X - 160)。
这样我们就得到了(Y_1)和(Y_2)的函数关系式，那接下来又该如何求解呢？请大家仿照上题的例子写出解答过程。
师：大家完成了吗？一起来看解题过程，请规范自己的解题过程。
下面我们来梳理一下这一类问题的解答过程。第一步，设未知数列函数关系式；第二步，分类讨论转化成不等式与方程并求解；第三步，找出适合问题的解。
通过上面的学习，我们来归纳一下，利用一元一次不等式与一次函数联系，在解决生活中决策问题的一般思路。由实际问题写出两个函数表达式，把函数问题转化成不等式，解出不等式，从而解决问题；也可以画出图像，通过分析图像最终解决问题。
现在我们再来感受一下一元一次不等式与一次函数的联系。在上面几个问题中，一次函数刻画了问题中两个变量之间存在的一种相互依赖关系，而一元一次不等式则描述了问题中这两个变量满足某些特定条件时的状态。因此，我们可以从一次函数的角度解决一元一次不等式的问题，也可以利用一元一次不等式解决一次函数的相关问题。
我们再来巩固一下，利用一元一次不等式与一次函数解决实际问题。某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为(X)时，所需费用为(Y)元。选择这两种卡消费时(Y)与(X)的函数关系如图所示。解答下列问题：
一、分别求出选择这两种卡消费时(Y)与(X)的函数关系式。
二、根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算。
请同学们先来解决问题一。
师：大家完成了吗？我们来看，这个问题反映了两个变量，消费费用与入园次数之间的对应关系。题目给出了函数的图像，我们可以利用待定系数法找出图像经过的已知点来求出函数的关系式。请看完整的解答过程。
请大家继续完成问题二，根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算。
师：好，请大家来看一看第二问的解答过程。请同学们对照答案来规范自己的解答过程。
下面我们来完成课堂练习。第一题，某公司(40)名员工到一景点集体参观，景点门票价格为每人(30)元。该景点规定满(40)人可以购买团体票，票价打八折。这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠。请你帮助他们选择购票方案。大家先来想一想这个问题我们该如何解决？
师：同学们，你们想好了吗？我们一起来分析一下。这个问题反映了两个变量，女士人数与门票费用之间的对应关系。我们设该公司参观者中有女士(X)人，则男士有(40 - X)人。选择购买女士五折票时所需费用为(Y_1)元，选择购买团体票时所需的费用为(Y_2)元。大家能够列出函数关系式吗？试试。
师：一起来看，选择购买女士五折票时，女士每人票价为(30×0.5 = 15)元，女士总票价为(15X)元，男士每人票价为(30)元，男士总票价为(30(40 - X))元，所以(Y_1 = 30×0.5X + 30(40 - X) = -15X + 1200)。选择购买团体票时，每人票价都为(30×0.8 = 24)元，所以(Y_2 = 30×40×0.8 = 960)。这样我们就得到了(Y_1)与(Y_2)的函数关系式。接下来请同学们完成解答过程。
师：好，请同学们来看一看规范的解答过程。
我们来看书后习题第二题，请大家打开书本，把题目自己阅读一下，并思考这个问题该如何解决。
师：好，请同学们自己对照答案看一下，规范自己的解答过程。
同学们，通过以上的学习，本节课你有什么收获？这节课我们利用一元一次不等式与一次函数解决了决策中的问题。解题的一般思路是把实际问题转化成数学问题，再解出数学问题的解，最终找出我们所要的结果，从而解决实际问题。在解决具体问题时，我们一般先设未知数列函数关系式，分类讨论，转化成不等式与方程并求解，最后找出适合问题的解。
本节课所用到的思想方法有：把实际问题转化为一元一次不等式、一次函数与方程问题，这里体现了建模思想；利用函数与不等式、方程的关系，借助图像解决问题，这里体现了数形结合思想；根据不等式的性质，把不等式化成(X > a)或(X < a)的形式，这里体现了划归思想；在方案解决时，这里体现了分类讨论思想。
请看今天的作业。本节课到此结束，同学们再见。