师：同学们好，请准备好铅笔、直尺、作业本，马上进入今天的新课内容。今天我们要学习初中数学北师大版八年级下册第二章第四课《一元一次不等式》第一课时。先来看这节课的学习目标：一是理解一元一次不等式概念的含义；二是会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。
我们一起回顾上几节课的内容。首先，不等式有三条基本性质，大家回想一下。不等式的基本性质一：不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变。基本性质二：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变。基本性质三：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。
第二，利用不等式基本性质，把下列不等式化成 x 大于 a 或 x 小于 a 的形式，请同学们作答。
第一小题，x - 4 < 6。解：根据不等式的基本性质一，两边都加 4，x - 4 + 4 < 6 + 4，即 x < 10。
第二题，2x > x - 5。解：根据不等式的基本性质一，两边都减 x，2x - x > x - 5 - x，即 x > -5。
第三小题，$\frac{1}{3}x - 4 < 6$。解：根据不等式的基本性质一，两边都加 4，得$\frac{1}{3}x - 4 + 4 < 6 + 4$，即$\frac{1}{3}x < 10$。再根据不等式的基本性质二，两边都乘 3，得$\frac{1}{3}x×3 < 10×3$，即 x < 30。
第四小题，$-\frac{4}{5}x \geq \frac{1}{3} + \frac{1}{5}x$。解：根据不等式的基本性质一，两边都减$\frac{1}{5}x$，即 -x ≥ $\frac{1}{3}$。再根据不等式的基本性质三，两边都除以 -1， -x÷(-1) ≤ $\frac{1}{3}$÷(-1)，即 x ≤ -$\frac{1}{3}$。这里第四小题的第二步运用的是不等式的基本性质三，要注意不等号方向发生了改变，所以有些同学在做这题时要格外注意。
第三，什么叫一元一次方程？解一元一次方程的步骤是什么？请同学们回忆一下。一元一次方程的概念是：在一个方程中，只含有一个未知数，而且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是 1，这样的方程叫做一元一次方程。解一元一次方程的步骤一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1 等步骤，把一个一元一次方程转化为 x = a 的形式。
请观察下列不等式，这些不等式都是我们学习过的。请同学们观察这些不等式，思考一下这些不等式有哪些共同点。通过观察我们发现，每个不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 1。根据我们发现的这些不等式的共同点，类比一元一次方程的概念，大家想一想一元一次不等式的概念应该是什么样的？这些不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1。像这样的不等式叫做一元一次不等式。对于一元一次不等式的概念，我们着重注意三点：一是左右两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是 1。这里我都用红色字体做了标记，请同学们注意。想一想，在前面几节课中，你列出了哪些一元一次不等式？试举两例写在作业本上。
我们已经认识了一元一次不等式的概念，下面接着探究一元一次不等式的解法。我们先从具体例子开始，比如解这个不等式，这是一个一元一次不等式，如何解这个不等式呢？我们知道解这个不等式就是要找出使这个不等式成立的所有未知数的值，那如何找呢？显然这是一个新问题，不过我们以前解决过类似的问题，什么问题呢？解方程。你会解这个方程吗？这个很简单，移项，2x - 3x = -12 - 10。合并同类项得 -x = -22。两边都除以 -1，得 x = 22。我们把方程一步一步化成了 x = a 的形式，从而找到了使方程成立的未知数的值。那么我们是否可以用类似的方法来解一元一次不等式，然后一步一步把不等式变为 x > a 或 x < a 的形式，从而找到使不等式成立的所有未知数的解呢？请同学们试一试。
我们模仿解一元一次方程的方法来解这个不等式。移项得到 2x - 3x < -12 - 10。合并同类项得 -x < -22。两边都除以 -1，得 x > 22。你是这样做的吗？注意把未知数的系数化为 1 时，不等号的方向要改变，因为它运用的是不等式的基本性质三：不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。这一步与解方程有点不同。现在我问大家一个问题，解方程有移项，因为它有等式的基本性质作为依据，而这里解不等式的移项有依据吗？
当然有，依据的是不等式的基本性质一：不等式两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变。我们以刚才解的不等式为例，2x + 10 < 3x - 12，两边都减 3x，得到 2x - 3x + 10 < 3x - 12 - 3x，也就是 2x - 3x + 10 < -12。这就相当于把 3x 改变符号后，从不等式的一边移动到另一边。这就是说解方程的移项变形，对于解不等式同样适用。
再看一个不等式，这个不等式与刚才的不等式相比有什么不同？对，这个不等式含有括号，那怎么办啊？没错，类比解方程的方法去括号，去括号以后就转化为前面一个不等式了，然后再利用我们刚刚讲解的方法可以解出来。
接下来我们再看一个稍微复杂的不等式，这个不等式又有什么新特点呢？还有分母，那怎么办呢？去分母。刚刚我们对解一元一次不等式的方法做了大致分析。看例 1，解不等式 3 - x < 2x + 6，并把它的解集表示在数轴上。解：移项得 -x - 2x < 6 - 3，合并同类项得 -3x < 3，两边都除以 -3，得 x > -1。这一步利用了不等式的基本性质三，不等号的方向要改变。不要忘记把它的解集表示在数轴上，这个不等式的解集在数轴上表示如下。
看例 2，解不等式$\frac{x - 2}{2} \geq \frac{7 - x}{3}$，并把它的解集表示在数轴上。不等式的解法我们已经做了大致分析，请你类比解一元一次方程的方法来解这道题。这道题里面有分母，第一步要去分母，怎么去呢？首先找所有分母的最小公倍数，2 和 3 的最小公倍数是 6，那我们给不等式两边都乘以 6，得到 3(x - 2) ≥ 2(7 - x)。第二步去括号，3x - 6 ≥ 14 - 2x。移项得 3x + 2x ≥ 14 + 6，移项不要忘记变号， - 6 移到右边变成 +6， - 2x 移到左边变成 +2x。合并同类项得到 5x ≥ 20，两边都除以 5，得到 x ≥ 4。同样，不要忘记把这个不等式的解集在数轴上表示，先画一条数轴，找到界点，用实心圆点，大于向右。这是例 2 完整的解题过程。
再看例 3，解不等式$1 + \frac{x}{3} > 5 - \frac{x - 2}{2}$，并把它的解集表示在数轴上。这一题与上一题有所区别，这一题也有分母，同样找分母的最小公倍数，3 和 2 的最小公倍数是 6。给不等式两边同时乘以 6 去分母得：6 + 2x > 30 - 3(x - 2)。一定不要忘记，1 也要乘以 6，5 也要乘以 6，就是每一项都要乘以 6。第二步去括号，6 + 2x > 30 - 3x + 6。移项得 2x + 3x > 30 + 6 - 6。合并同类项得 5x > 30，两边都除以 5，得 x > 6。这个不等式的解集在数轴上表示如下，画一条数轴，找到界点 6，用空心圆圈，向右画。解不等式，并把它的解集表示在数轴上，这个例 3 的解题过程就是这样，完整过程就结束了。大部分在解不等式，最后都要把解集表示在数轴上，不要忘记，也不要漏掉了。
同学们再回顾一下刚刚做的这三道题目，然后思考几个问题。看过以后思考：第一个，在解不等式的过程中是否有与解一元一次方程类似的步骤？步骤大致相同。解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1，解不等式过程基本上和它类似，大致相通。
第二个，能否归纳解一元一次不等式的基本步骤，相信大家心里已经有数了，能归纳出一元一次不等式的基本步骤。
第三个，在解一元一次不等式的步骤中应该注意什么？这也是我们需要讲解的，同学们容易犯错误的问题。解一元一次不等式大致要分为五个步骤：第一步去分母，根据是不等式的基本性质 2 和基本性质 3；第二步去括号，根据是单项式乘以多项式法则，这是我们在七年级已经学习过的；第三步移项，根据不等式的基本性质一，不等式两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变；第四步合并同类项，根据合并同类项的法则，也是我们七年级学习过的；第五步系数化为 1，根据不等式的基本性质 2 和不等式的基本性质 3。注意，在第一步和第五步中，如果乘数或除数是负数，要把不等号的方向改变，就是运用了不等式的基本性质三时要改变不等号的方向。第二点，写不等式的解时，要把表示未知数的字母写在不等号的左边。
看今天的随堂练习，解不等式 12 - 6x ≥ 2(1 - 2x)，并把它的解集在数轴上表示出来。同学们可以写一下，先解这个不等式。这里面第一步我们只需要去括号就可以了，12 - 6x ≥ 2 - 4x。移项得 - 6x + 4x ≥ 2 - 12，然后合并同类项得到 - 2x ≥ - 10，两边都除以 - 2，得到 x ≤ 5。最后一步也就是运用了不等式的基本性质三，要注意改变不等号的方向。不等式的解集在数轴上的表示如图，先画一条数轴，找到界点 5，用实心圆点向左画解集。x ≤ 5 中包含 5，所以在数轴上将表示 5 的点画成实心圆点。
第二题，解不等式$\frac{1 + x}{2} \leq \frac{1 + 2x}{3} + 1$，并把解在数轴上表示出来。同学们可以做一下，这个不等式有分母。首先第一步应该去分母，是乘以分母的最小公倍数。去分母得到 3(1 + x) ≤ 2(1 + 2x) + 6，不要忘记了，1 也要乘以 6。第二步去括号得 3 + 3x ≤ 2 + 4x + 6。移项 3x - 4x ≤ 2 + 6 - 3，移项要变号。合并同类项得 - x ≤ 5，两边同除以 - 1，运用的是不等式的基本性质三，不等式两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，得 x ≥ - 5。不要忘记把它的解表示在数轴上，画一条数轴，找界点 - 5，用实心圆点，大于向右画。又问了一下，若求适合原不等式的最小负整数解，那我们从图像上可以看得，不等式的最小负整数解是 x = - 5。
好，第三题，求适合不等式 3(2 + 2x) > 2x 的最小负整数。首先解这个不等式，6 + 6x > 2x，6x - 2x > - 6，x > - 6。不等式解集在数轴上表示，画一条数轴，找到界点 - 6，用空心圆圈向右。它问的是最小负整数，我们由图像上可以看到不等式的最小负整数解是 x = - 5。
好，第 4 题，关于 x 的不等式 3x - 2a ≤ - 2 的解集如图所示，求 a 的值。先思考，关于 x 的不等式，那也就是说把 x 看成未知，其余都暂时看成已知。因为从图中可以看到 x 的解集是小于等于 - 1。分析完题目以后，请同学们写出解题过程，求出 a 的值。解：移项得到 3x ≤ 2a - 2，系数化为 1，得 x ≤ $\frac{2a - 2}{3}$。刚刚由图已经知道 x ≤ - 1，那也就是得到了$\frac{2a - 2}{3}$ = - 1，解含有 a 的一元一次方程很容易得到 a = $\frac{1}{2}$。
好，总结一下本节课的内容。通过本节课的学习，你学到了哪些知识？你学会了哪些数学方法？你觉得在解一元一次不等式的步骤中应该注意些什么问题？我们共同回忆一下这节课，我们类比解一元一次方程，学习了解一元一次不等式，并把解集表示在数轴上。我们得到了解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤基本类似，大致相同。这里统一的数学方法是划归，解一元一次方程要把结果化成 x = a 的形式，解一元一次不等式，结果也要化成 x > a 或 x < a 的形式。唯独不同的是要小心不等式的基本性质 3 的运用，以及最后在数轴上表示解集不要遗漏。
看今天的作业，课本 48 面习题 2.4 第一、第二题。很快就到了下课的时间，请同学们课下认真整理笔记，完成今天的作业，同学们再见。