师：同学们，大家好！今天我们一起学习初中数学北师大版八年级下册第三章回顾与思考。请准备好课本和学习用具，学习贵在回顾总结，相信很多同学课前已对本章内容进行简单梳理，制作出便于自己理解掌握的知识结构图。下面是老师制作的知识结构图，希望能和同学们借助它更好地回顾本章内容。
通过此结构图，我们发现本章内容共分为四部分：平移、旋转、中心对称以及图案设计。对于平移、旋转和中心对称，我们着重从概念、性质以及作图等方面进行了探究。接下来进行具体的知识梳理。
首先看第一个知识点，平移的定义是：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。如图所示，确定平移后图形的位置，我们需要明确平移的方向和平移的距离。平移有哪些性质呢？首先，平移前后的图形全等，所以平移不改变图形的形状和大小，其对应线段相等，对应角相等，对应线段平行或者在一条直线上，同样，对应点所连的线段也是平行或在一条直线上且相等。那么对应点的坐标发生了怎样的变化呢？对于图形的平移与坐标之间存在着什么关系？我们知道，图形的平移其实就是组成图形的点的平移。
如果设((x, y))是原图形上的一个点，沿着坐标轴平移后，这个点与其对应点的坐标之间有什么样的关系？我们结合图表来观察一下，如果它沿(x)轴方向平移(a)个单位长度，这时它的对应点的横坐标发生变化，纵坐标不变。横坐标怎样变化呢？如果是向右平移(a)个单位长度，则横坐标加(a)；如果是向左平移(a)个单位长度，则横坐标减(a)。同样，如果它沿(y)轴方向平移(a)个单位长度，这时它的对应点的横坐标不变，纵坐标发生变化。纵坐标是如何变化的呢？如果沿(y)轴方向向上平移(a)个单位长度，则纵坐标加(a)；向下平移(a)个单位长度，则纵坐标减(a)。对于这样的关系，我们可以简写为“右加左减，上加下减”。
那如果图形依次沿两个坐标轴方向平移后，图形对应点坐标之间又发生了什么样的变化呢？同样设((x, y))是原图形上的一个点，这时它沿(x)轴方向平移(a)个单位长度，又沿(y)轴方向平移(b)个单位长度，那么这个点与它的对应点之间存在着什么关系？请同学们认真看这个表格。
仔细观察表格，我们发现：如果沿(x)轴向右平移(a)个单位长度，向上平移(b)个单位长度，这时它的横坐标加(a)，纵坐标加(b)；如果沿(x)轴向右平移(a)个单位，向下平移(b)个单位，这时它的对应点的横坐标加(a)，纵坐标减(b)；图形向左平移(a)个单位长度，向上平移(b)个单位长度，这时它的横坐标减(a)，纵坐标加(b)；向左平移(a)个单位长度，向下平移(b)个单位长度，这时它的对应点的横坐标减(a)，纵坐标减(b)。我们发现这一规律和刚才总结的规律一致，而且对一个图形依次沿(x)轴方向、沿(y)轴方向平移后所得的图形，可以看成是由原图形经过一次平移得到。
好，类比平移知识的梳理，接下来我们看旋转的相关知识。首先是它的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点，按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这时，我们的定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角，如(\angle AOD)就是一个旋转角。同样，确定旋转后图形的位置，要明确它的旋转中心、旋转方向和旋转角度。旋转和平移一样，旋转前后的图形也全等，所以旋转不改变图形的形状和大小。它的对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，这里面它的对应线段相等，对应角也相等。
如果旋转的角度为(180)度时，旋转前后的两个图形呈中心对称，这时的旋转中心称为对称中心。成中心对称的两个图形，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。这时，如果把呈中心对称的这两个图形看成一个整体图形，那么这个图形就是中心对称图形。
什么是中心对称图形呢？把一个图形绕某个点旋转(180)度，旋转后的图形能够与原来的图形重合，这样的图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。中心对称图形和中心对称之间有什么区别和联系呢？正如刚才所说，如果将呈中心对称的两个图形看成一个整体，则它就是中心对称图形；反过来，如果把中心对称图形对称的两部分看成是两个图形，那么它们就成中心对称，这是它们之间的联系。那它们的区别是什么呢？区别在于中心对称是指两个全等图形的相互位置关系，而中心对称图形是指一个图形本身呈中心对称。
说到中心对称，我们自然会想到轴对称。中心对称与轴对称之间有什么区别呢？我们通过一个图表来看一下。首先，轴对称有对称轴，对称轴是一条直线；中心对称有对称中心，对称中心是一个点。轴对称是沿图形沿对称轴折叠（也可说是翻转(180)度），中心对称是绕对称中心旋转(180)度。轴对称中对应点的连线被对称轴垂直平分，中心对称中对应点的连线被对称中心平分。
最后我们进行了简单的图案设计，图案设计的基本步骤如下：首先要确定基本图形，然后对基本图形进行如平移、轴对称、旋转或者它们之间的组合变换，做出一个新的图形，这时得到的图形就是我们想要的图案。
这是我们本章的知识内容，下面我们借助例题来进一步理解和运用知识。
先看例一，请同学们在课前准备好的坐标纸上或课堂练习本上画一画、写一写。第一问中(A)、(B)的坐标可直接通过读图获取，(A)点坐标为((2, -1))，(B)点坐标为((1, 3))。第二问，三角形(ABC)向左平移两个单位长度，又向上平移了一个单位长度，根据前面总结的图形平移后对应点坐标变化关系，应该在原三角形(ABC)坐标的基础上，向左平移两个单位长度横坐标减(2)，向上平移一个单位长度纵坐标加(1)，这样我们就可以分别得到(A')点坐标((0, 0))，(B')点坐标(( -1, 4))，(C')点坐标为(( -1, 3))。当然，有同学也会发现，如果把三角形(ABC)平移后的图形三角形(A'B'C')在坐标纸上画出来，也可直接通过读图获得(A')、(B')、(C')的坐标。
最后求三角形(ABC)的面积，求三角形面积需要知道它的底和对应的高，而三角形(ABC)的底和高很难确定，这时该如何求它的面积呢？当求一些不能直接求得的图形面积时，我们可以通过转化，把它转化成能够求得的图形面积的和或者差的形式。所以这时我们可以转化为一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积，从而获得三角形(ABC)的面积。这个长方形的面积等于(3×4)，三个直角三角形的面积依次为(\frac{1}{2}×1×3)和(\frac{1}{2}×2×4)（这两个直角三角形一样，所以这里是二倍关系），最后求得三角形(ABC)面积等于(5)。
接下来看一个有关旋转的问题，请同学们认真读题，并结合图形进行解答。根据题意结合图形，由旋转的性质我们可以得到(AB = AD)，(\angle BED = 150^{\circ})，这时要求的(\angle B)其实就是等腰三角形的一个底角。如何求等腰三角形的底角呢？已知它的顶角，再借助等腰三角形两底角相等，很容易得到(\angle B = \angle ADB = \frac{180^{\circ} - 150^{\circ}}{2})，所以最后答案为(15^{\circ})。
解决完例二，我们来看例三。题目较长，大家读题时一定要细心，千万不可遗漏重要信息。同学们可以在坐标纸上涂一涂、画一画，看能画出几种符合条件的格点正方形。符合条件的格点正方形需要具备什么条件呢？首先，它要与原格点正方形无重叠部分；其次，它和原格点正方形组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形。这样符合条件的格点正方形能做出多少个呢？我们可以做出(4)个这样的格点正方形。