师：同学们好，今天这节数学课，我们要学习初中数学北师大版八年级下册第三章第二节图形的旋转第二课时。请大家准备好圆规、直尺、铅笔和练习本，现在就和老师一起开启今天的数学之旅。
首先，我们回顾相关知识。什么是旋转呢？在平面内，将一个图形绕一个定点，按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。其中，旋转中心、旋转方向、旋转角是旋转的三要素。
那旋转有哪些性质呢？第一，旋转前后两个图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点到旋转中心的距离相等。第二，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角。这三条性质是我们进行旋转作图的基本依据。
前面我们学过尺规作图，大家回忆一下，尺规作图所需要的工具有哪些？
生：没有刻度的直尺、圆规、铅笔。
师：非常好，那我们已经具备了哪些基本的作图技能呢？
生：做一条线段等于已知线段，做一个角等于已知角。
师：没错，有了这些知识和技能做基础，我们就能画出旋转后的图形。首先，从图形最基本的构成元素——点的旋转开始。看左图，作出点(A)绕点(O)逆时针旋转(60)度之后的点(A')。大家想一想，动手试一试，然后总结一下作图思路。
题目告诉我们，旋转中心是点(O)，旋转方向是逆时针，旋转角是(60)度。我们知道旋转角是对应点与旋转中心连线所成的角，也就是说(\angle AOA' = 60)度。因此，我们会想到连接(OA)，以(OA)为一边，按逆时针方向画角(\angle AOX)，使得(\angle AOX = 60)度。
那么点(A')一定在射线(OX)上，怎么进一步确定(A')的位置呢？根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，即(OA' = OA)。所以我们用圆规在射线(OX)上取点(A')，使得(OA' = OA)，那么点(A')就是点(A)绕点(O)按逆时针方向旋转(60)度之后的点。
接下来看看线段的旋转。看左图(2)，做出线段(AB)绕(A)点顺时针方向旋转(60)度所得到的线段。大家想一想，动手试一试，说说作图思路。
生：要想确定旋转后的线段，只需要确定这条线段的两个端点，也就是点(A)、点(B)的对应点即可。点(A)是旋转中心，对应点仍然是点(A)，因此我们只需要做出点(B)绕(A)点顺时针旋转(60)度之后的点即可。这样就把线段的旋转化成了刚才点的旋转。
师：非常棒，我们来看具体做法。首先以(AB)为一边，按顺时针方向画角(\angle BAX = 60)度。然后在射线(AX)上取点(C)，使(AC = AB)，连接(AC)，那么线段(AC)就是所求作的线段。这里线段(AB)是绕着其一个端点旋转。那如果线段绕着其外部一点旋转呢？看左图(3)，作出线段(AB)绕着点(O)顺时针旋转(90)度后所得到的线段。大家动手试一试。
生：这题思路和刚才一样，把找旋转后的线段转化成找两端点的对应点。只要做出(A)点的对应点(A')，(B)点的对应点(B')，然后连接(A'B')，那么线段(A'B')即为所求作的线段。
师：在探究了点和线段的旋转之后，我们再来看看复杂的平面图形的旋转。看左图(4)，作出三角形(ABC)绕(O)点顺时针旋转(60)度后所得到的三角形，大家打算怎么做？
生：要做出旋转后的三角形，只需要做出这个三角形的三个顶点，也就是点(A)、点(B)、点(C)的对应点即可。这样一来，复杂的平面图形的旋转最终也转化成了图形上关键点的旋转。只要分别做出点(A)的对应点(A')，点(B)的对应点(B')，点(C)的对应点(C')，然后顺次连接(A'B')，(B'C')，(A'C')，那么三角形(A'B'C')即为所求作的三角形。
师：通过前面的(4)个作图，老师想请大家思考一下，确定一个图形旋转后的位置需要哪些条件呢？
生：需要旋转中心、旋转方向、旋转角度，三者缺一不可。
师：那你能总结一下旋转作图的步骤吗？
生：第一步，弄清旋转中心、旋转方向和旋转角度。第二步，找出构成图形的关键点，比如线段的关键点是两个端点，多边形的关键点是多边形的顶点。第三步，做出各关键点的对应点。第四步，顺次连接做出的各点。第五步，写出结论，点明哪个图形是做出的图形。
师：运用刚才所学的知识，我们来看以下几个问题。第一题，如图，三角形(ABC)绕点(O)按逆时针方向旋转后，顶点(A)旋转到了点(D)。第一问，指出这一旋转的旋转角是哪个角呢？大家怎么想？
生：旋转角是对应点与旋转中心连线所成的角，已知旋转中心是点(O)，点(A)与点(D)是对应点，因此连接(OA)、(OD)，那么(\angle AOD)就是这一次旋转的旋转角。
师：非常好，第二问，画出旋转后的三角形，大家动手画一画。
生：要想画出旋转后的三角形，只需要做出点(B)、点(C)的对应点即可。由题知，旋转中心是点(O)，旋转方向是逆时针，旋转角是(\angle AOD)。因此可以首先连接(OB)、(OC)，然后以(OB)为一边，按逆时针方向画角(\angle BOM)，使它等于(\angle AOD)，再以(OC)为一边，按逆时针方向画角(\angle CON)，使它等于(\angle AOD)。第三步，分别在(OM)上取点(E)，使(OE = OB)；在(ON)上取点(F)，使(OF = OC)，然后顺次连接(DE)、(EF)、(DF)。那么三角形(DEF)就是所求作的三角形。
师：第二题，你能对甲图案进行适当的运动变化，使它与乙图案重合吗？大家想一想。
生：可以先将甲图案绕(A)点旋转，使得图案被扶正，然后再沿(AB)方向平移到(B)点的位置，两图案即可重合。
师：非常好，那还有什么方法可以使甲图案与乙图案重合吗？
生：还可以先将甲图案沿(AB)方向平移到(B)点的位置，然后绕(B)点旋转，使得图案被扶正，两图案也能重合。
师：这一题同时用到了平移变化和旋转变化。
第三题，下图由四部分组成，每部分都包括两个小十字红色部分(A)，能经过适当的图形变化得到其他三部分(B)、(C)、(D)吗？首先我们回忆一下学过的图形变化有哪几种？
生：有旋转、平移、轴对称。
师：对于这一题，我们先考虑旋转变化，经过旋转能否由(A)得到(B)、(C)、(D)呢？假如可以的话，是绕着哪一点，沿着什么方向转动多少度呢？大家想一想。