师：亲爱的同学们，大家好！这节课我们学习初中数学北京师范大学出版社八年级下册第三章第三节——中心对称。在之前的几节课中，我们主要学习了图形的平移和旋转。大家还记得七年级时研究过的轴对称和轴对称图形吗？下面我们一起来回顾两个问题。第一，什么是轴对称？如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称。第二，什么是轴对称图形？如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么我们称这个图形叫做轴对称图形。
在实际生活中，除了这种对称关系，还存在其他类型的对称。观察下图中的图一，经过怎样的运动变化就可以与图 2 重合？大家还能举出一些类似的例子吗？我们发现图一绕着某一点旋转 180 度后，能和另一个图形重合。生活中类似这样的例子还有很多。下面我们继续观察，把其中一个图案绕点 O 旋转 180 度后，大家有什么发现？
生：把其中一个图案绕着点 O 旋转 180 度，它能够与另一个图案重合。
师：非常好，我们把这种具有特殊位置关系的两个图形称为中心对称。那什么是中心对称呢？如果把一个图形绕着某一点旋转 180 度，它能够和另一个图形重合，那么我们就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心。注意，两个图形关于一个点对称，可以简称为两个图形成中心对称。例如，三角形 ABC 绕点 O 旋转 180 度后能够与三角形 A'B'C'重合，这时我们就说三角形 ABC 与三角形 A'B'C'成中心对称，点 O 是它们的对称中心。中心对称具有哪些性质呢？下面我们一起来探究这个问题。大家做一做，请画一个图形，选取一个旋转中心，把所画的图形绕旋转中心旋转 180 度，连接旋转前后一组对应点，你发现了什么？再选几组对应点试一试。
（老师在黑板上画了一个三角形，把三角形 ABC 绕旋转中心 O 旋转 180 度，得到三角形 A'B'C'，连接各组对应点）
师：说说你们的发现。
生：由中心对称的定义可知，三角形 ABC 绕旋转中心 O 旋转 180 度能与三角形 A'B'C'重合，所以三角形 ABC 与三角形 A'B'C'关于点 O 成中心对称。连接各组对应点，会得到三条线段 AA'、BB'和 CC'。因为旋转角是 180 度，所以线段 AA'经过点 O。同样的道理，线段 BB'和线段 CC'也都经过点 O，也就是说对应点所连的线段经过对称中心。
师：非常棒，那还有其他发现吗？
生：根据旋转的性质，每组对应点到旋转中心的距离相等。所以会得到线段 OA = OA'，OB = OB'，OC = OC'。因此，O 是线段 AA'的中点，也是线段 BB'的中点，还是线段 CC'的中点。也就是说每组对应点所连的线段都经过对称中心，且被对称中心平分。
师：很好，那如果换成其他的图形，以上这些结论还成立吗？好，下面咱们把三角形换成一个四边形。如图，四边形 ABCD 绕旋转中心点 P 旋转 180 度得到四边形 EFGH，连接旋转前后各对应点，请同学们认真观察，你又发现了什么？
生：还是发现每组对应点所连的线段经过对称中心，且被对称中心平分。
师：这就是我们所要研究的中心对称的性质。即成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心且被对称中心平分。学习了中心对称的性质，咱们可以解决哪些问题呢？下面请同学们做一做。第一个问题，如图，已知点 A 和点 O，以 O 为对称中心画出点 A 关于点 O 成中心对称的图形点 A'，大家想一想应该如何画呢？
（老师在黑板上示范画图过程）
师：因为根据中心对称的性质，对应点所连的线段经过对称中心，所以点 A'一定在线段 AO 的延长线上。又因为对应点所连的线段被对称中心平分，所以 O 应该是线段 AA'的中点。因此延长线段 AO 到 A'，使 OA' = OA，这样点 A'就是以点 O 为对称中心，与点 A 成中心对称的点。下面请同学们看一看具体的画法。连接 AO 并延长至 A'，使得 OA' = OA，点 A'就是以 O 为对称中心，与点 A 成中心对称的点。同学们，利用中心对称的性质，你能否解决更复杂的问题呢？好，下面请同学们看例题。如图，点 O 是线段 AE 的中点。以 O 为对称中心，画出与五边形 ABCDE 成中心对称的图形，请同学们尝试一下。
师：下面来共同分析一下问题的解决方法。因为五边形 ABCDE 是由五个关键点组成，在这里 O 是线段 AE 的中点。要想画出五边形 ABCDE 关于点 O 成中心对称的图形，我们只要找出这 5 个关键点关于点 O 成中心对称的点，这样就能够把问题解决。题目中我们可以发现点 A 关于点 O 的对称点是点 E，点 E 关于点 O 的对称点是点 A。因此我们只要分别找出点 B、C、D 关于点 O 的中心对称点，再顺次连接，就可以得到我们所要画的多边形。
（老师在黑板上展示正确的作图过程）
师：如图，连接 BO 并延长至 B'，使 OB' = OB。连接 CO 并延长至 C'，使得 OC' = OC。连接 DO 并延长至 D'，使得 OD' = OD。顺次连接 E、B'、C'、D'、A，图形 E、B'、C'、D'、A 就是以点 O 为对称中心，与五边形 ABCDE 成中心对称的图形。同学们通过刚才的画图，我们可以发现，利用中心对称的性质可以解决下列问题：已知一个图形和对称中心，我们利用中心对称的性质就能够找到关于对称中心与已知图形成中心对称的图形。在实际生活中，我们还会见到一些图形，它们很美，但不是我们以前学习的轴对称图形，那它们是怎样的图形呢？接着我们共同探究。观察这些图形有什么共同特征，你还能举出一些类似的例子吗？
生：这些图形绕某一点旋转 180 度后，旋转后的图形与原来的图形重合。
师：非常好，生活中这样的例子还有很多，比如我们学过的平行四边形，把平行四边形绕点 O 旋转 180 度，你发现了什么？