师：朋友们好，今天很高兴和大家一起学习初中数学北师大版八年级下册第一章三角形的证明第一节等腰三角形。本节课我们将按八个环节展开，先来看看教学目录：一、复习回顾；二、新知探究；三、归纳小结；四、议一议；五、想一想；六、课堂练习；七、课堂小结；八、布置作业。现在，让我们进入第一环节——复习回顾。同学们，第一课时我们学习了等腰三角形及其性质并进行了证明。等腰三角形不仅两腰相等，两底角也相等，简称“等边对等角”。除此之外，我们还介绍了等腰三角形“三线合一”的性质，即顶角的角平分线、底边 BC 上的中线和高三线合一，这三条线所在直线就是等腰三角形的对称轴，所以等腰三角形是轴对称图形。
课本上提出了一个问题，在等腰三角形中，除角平分线外，我们还学了中线和高，这些特殊线段之间能否存在相等关系呢？我们先从两底角的平分线 BD 和 CE 是否相等说起。之前学习时，我们利用全等三角形对应边、对应角相等的性质来证明，今天探究 BD 和 CE 的关系，同样可以借助三角形全等，利用全等三角形对应边相等这一性质来证明。
同学们看，BD 在△ABD 和△BCD 中，CE 在△ACE 和△CBE 中。在第一组三角形△ABD 和△ACE 中，如果要说明它们全等，条件是什么呢？已知等腰三角形 ABC 两底角的平分线，根据等腰三角形性质，两腰相等，两底角相等，由“等边对等角”可知，∠1 = ∠3，∠2 = ∠4，且它们都等于底角的一半，所以∠1 = ∠2 = ∠3。这样，在△ABD 和△ACE 中就构成了全等要素：∠3 = ∠4，AB = AC，∠A 为公共角，根据“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）”，所以△ABD 和△ACE 全等。
有的同学可能会想，如果考虑△BCD 和△CBE，能否找到全等条件，从而说明 BD 和 CE 相等呢？大家思考一下。看，这里我们可以借助公共边 BC，BC 既在△BCD 中，又在△CBE 中。又因为前面提到∠1 = ∠2，底角∠ABC = ∠ACB，同样是两角一边，同学们发现了吗？第一组和第二组三角形全等的理由一致，都是 ASA。比较这两组全等三角形，大家会怎么选择呢？请思考。
不管是哪一组全等三角形，我们都是利用全等三角形对应边相等，得出 BD = CE，即等腰三角形两底角的平分线相等。现在，我们把问题转换成中线，看看等腰三角形两腰上的中线是否相等。这时，∠1、∠2、∠3、∠4 相等的结论不成立了。因为 BD 和 CE 是中线，所以 E 和 D 分别是两腰 AB、AC 的中点，那么 AE = AD，因为 AE 是 AB 的一半，AD 是 AC 的一半，通过等量代换可得 AE = AD。除了 AE = AD，∠A 仍然是公共角，AB = AC 也依然成立。所以可以得出△AEC 和△ADB 全等，这次全等的理由是“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）”。
同学们，刚刚证明两底角平分线相等时我们考虑了两种情况，改成中线后，是否也存在第二种情况呢？也就是把 BD 和 CE 放在△BCD 和△CBE 中，它们还能全等吗？答案是肯定的。首先，BE = CD，BC 是公共边，且∠EBC = ∠DCB，所以△EBC 和△DCB 满足全等条件，理由同样是 SAS。也就是说，证明中线相等也可以仿照证明角平分线相等的方式，用两种方法。同学们，你们会选择哪种呢？是借助公共边还是公共角呢？
接下来考虑第三种情况——高。如果把问题改成等腰三角形两腰上的高是否相等，该怎么思考呢？现在角平分线和中线的性质不能用了，当 BD 和 CE 作为高时，附加条件是∠ADB = 90°，∠AEC = 90°。在△AEC 和△ADB 中，90° = 90°，∠A 是公共角，AB = AC，满足三角形全等的三个条件“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）”。