师：同学们好。欢迎走进今天的数学课堂，和老师一起学习初中数学北师大版八年级下册第四章第一课——因式分解。什么是因式分解呢？带着这个问题，我们开启今天的学习之旅。
首先，看一个小学的问题，99能被哪些数整除呢？很简单，99可以被1、3、9、11、33、99这些数整除。那你们是怎样想到的？我们知道99可以分解为1×99、3×33、9×11的形式。
接下来，请同学们思考这样一个问题，993 - 99能被100整除吗？你们是怎么做的呢？老师来猜猜你们的做法。
有的同学可能会借助计算器来计算。用计算器计算固然好，但是考试时是不允许使用计算器的。有的同学说，不能用计算器，那可以通过笔算。但是我们发现993的计算量有点大，那怎么办呢？下面我们看看小明对于这个问题是怎么做的。
请同学们认真观察小明的过程，并思考：他每一步变形的依据是什么？我们看到小明在处理这个式子的时候，把式子当中的993和99，通过分解变成99×992和99×1的形式。这样，就可以利用乘法对加法的分配律，把它转化成99×(992 - 1)的形式。这时，我们只需要判断992 - 1能否被100整除就可以了。通过计算发现，992 - 1 = 9800，而9800可以分解为98×100。
从而我们得到，993 - 99能够被100整除。大家能理解他的做法了吗？现在老师还想问一个问题，993 - 99还能被哪些正整数整除呢？要解决这个问题，我们就来看993 - 99能够分解成哪些数乘积的形式。从刚才小明分解的结果看，993 - 99还能被98整除，也能被99整除，还能不能被其他数整除呢？这个时候我们可以进一步分解，例如把98进一步分解为2×49，这时我们还可以得到993 - 99能够被49整除。同样，也可以再次分解99，这样的数有很多，就不一一列举了。
同学们，如果把式子当中的99换成任意一个大于1的整数a，这时式子就变成了a3 - a的形式。那么这个式子还能转化成几个整式的乘积形式吗？对于这个问题该怎么处理呢？因为是把式子中的99转化成a的形式，那我们是不是可以类比刚才对于式子的转化过程呢？好，请同学们自己在课堂练习本上做一做，看看结果如何。
好，接下来我们看，通过类比993 - 99的转化过程，a3 - a的转化过程是怎样的。我们把式子当中的99全部换成字母a。最后我们发现，a3 - a最终转化成了a(a - 1)(a + 1)的形式，而这里的a - 1和a + 1都是整式。因此我们可以得到，a3 - a能化成几个整式乘积的形式。在这里，我们类比式子的转化，得到了多项式的转化。
接下来，我们借助一个集合图形，更直观地理解这种变形。请同学们完成课本92页“做一做”，并认真观察得到的关系式。
通过观察，我们发现由于拼图前后的图形面积相等，所以左边三个长方形的面积和与右边组成的大长方形的面积相等。同样，第二个左边四个长方形的面积和等于右边围成的大长方形的面积。同学们请仔细观察得到的这组关系式，从右边到左边是我们熟悉的整式乘法，那从左边到右边是什么呢？这就是我们今天要学习的因式分解。
什么是因式分解呢？把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。因式分解也可以称为分解因式。例如我们通过拼图得到的这两个关系式，它们都是因式分解。从刚才拼图的过程，我们可以知道因式分解是一种恒等变形。
那我们在进行因式分解的时候要注意：首先，分解的结果要以积的形式表示。例如，x2 + 2x + 1，如果分解成其他不是以积的形式表示的式子，那就不是因式分解了。第二点，每个因式必须是整式。比如x2 + 1，如果转化成x(x + 1/x)的形式，因为1/x不是整式，所以这个分解虽然结果是以积的形式呈现，但它不是因式分解。最后，每个因式必须要分解到不能再分解为止。例如我们类比式子得到的a3 - a的分解，如果分解成a(a2 - 1)的形式，虽然也是以乘积的形式呈现，且每个因式都是整式，但是a2 - 1还能够进一步分解成(a + 1)(a - 1)，所以这种分解就没有分解完全。同学们，理解因式分解的定义了吗？现在请同学们快速完成课本93页的“做一做”，然后思考因式分解与整式乘法之间有什么关系。
好，接下来我们对照一下答案。同学们看，左边的算式都是整式乘积的形式，右边的式子都是进行了因式分解。我们会发现左边算式和右边因式分解，等号的左右两边正好相反。那因式分解与整式乘法之间到底有什么样的关系呢？我们借助一个图形具体来看一下。
首先，这些都是整式的积的形式，再看它们的结果，全部都是多项式，这一过程就是我们之前所学的整式乘法。现在我们把它们的左右两边位置互换，把前面的结果放到这边，这是多项式。根据等式的对称性，我们可以得到a2 - b2 = (a + b)(a - b)，a2 + 2ab + b2 = (a + b)2，am + bm + cm = m(a + b + c)的形式，后面的结果是以整式乘积的形式。这时，由多项式到整式积的形式，这种变形我们就称为因式分解。因此，整式乘法和因式分解之间是一种互逆变形。
现在大家理解整式乘法和因式分解之间的关系了吗？接着我们通过具体的练习来巩固。首先完成课本随堂练习第一题“连一连”，同学们请在课本上完成本题。下面和老师一起对照一下答案。做对了吗？同学们，我们来看这个“连一连”，左边部分全部都是多项式，右边部分全部都是整式乘积的形式。从左边向右边看，这是因式分解的过程。反过来，从右向左看，就是我们之前所学的整式乘法了。接下来看大家能不能正确判断。请认真看给出的8个式子，哪些是因式分解呢？