师：同学们，大家好，今天我们一起来学习北师大版八年级下册第一章第四节角平分线的第一课时。首先，我们回顾一下角平分线的相关知识。
什么是角的平分线和三角形的角平分线呢？从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线，角的平分线是一条射线。在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，它是线段。大家要认真区分这两个概念。
那你们还记得角平分线的点有什么性质吗？七年级下册《生活中的轴对称》一章中，同学们通过将∠AOB沿着角平分线OC对折，发现线段DC等于CE。由此，我们得到了角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。不过，通过观察得到的结论不一定可靠，所以我们需要对这个结论加以证明。在证明之前，我们把这个结论与垂直平分线的性质定理进行对比，看看有什么发现。
线段垂直平分线上的点到这个线段两个端点的距离相等。这两个结论里都有“距离”这个词。角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，这里的距离指的是点到线的距离；而线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，这里的距离指的是点到点的距离。
现在，我们来证明角平分线上的点到角的两边的距离相等。这个命题的条件是一个点在一个角的平分线上，结论是它到角的两边的距离相等。我们根据条件和结论把它转化成图形和符号语言。
已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，求证PD = PE。证明线段相等，根据现有的公理和定理，我们知道可以用等角对等边，也可以用全等三角形对应边相等。根据已知条件，我们很容易判断出，证明△ODP和△OEP全等是解决问题的关键。∠1 = ∠2，∠ODP = ∠OEP = 90°。证明三角形全等至少要有一组对应边相等，我们很容易看出OP是公共边。下面我们来完成证明过程。
证明：因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1 = ∠2。因为PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO = ∠PEO = 90°。在△PDO和△PEO中，∠PDO = ∠PEO，∠1 = ∠2，OP = OP，所以△PDO≌△PEO（AAS），所以PD = PE。
现在我们完成了本节课第一个定理的证明，也就是角平分线的性质定理。角平分线性质定理用符号语言可以表示为：因为∠1 = ∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD = PE。这个结论是经常用来证明两条线段相等的依据之一。以后只要有这样三个条件，就可以直接运用角平分线的性质定理得到线段相等，不需要再去证明全等。
角平分线性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。交换定理的条件和结论得到的命题怎么叙述呢？
交换命题条件和结论，我们可以得到角平分线性质定理的逆命题：在角的内部，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。它是真命题吗？如果是，请证明。现在我们把这个命题转化成图像和符号语言。
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD = PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。
现在思考一个问题，如何证明一个点在一条直线上？我们可以类比垂直平分线判定定理的证明方法。要证点P在∠AOB的平分线上，只需连接OP，证明OP平分∠AOB即可。根据已知条件，我们可以先证明Rt△ODP≌Rt△OEP，再利用全等三角形对应角相等，推出∠1 = ∠2。现在我们来完成具体的证明过程。
证明：因为PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO = ∠PEO = 90°。在Rt△ODP和Rt△OEP中，OP = OP，PD = PE，所以Rt△ODP≌Rt△OEP（HL），所以∠1 = ∠2，所以点P在∠AOB的角平分线上。
这样我们就得到了角平分线的判定定理，也可以称为角平分线性质定理的逆定理。同学们，刚才我们已经证明了角平分线的性质定理和角平分线的判定定理，它们两者是互逆定理。下面我们应用这两个定理来解决几个例题。
例1：如图，在△ABC中，∠BIC = 60°，点D在BC上，ID = 10，DE⊥IB、DF⊥IC，垂足分别为E、F，且DE = DF，求DE的长。同学们完成此题时要注意两个问题：一是要求DE的长，题干中只有ID的长度已知，所以我们必须找到ED与ID间的数量关系；二是由于DE⊥IB，DF⊥IC，得到两个直角三角形IED和直角三角形IFD，条件中又有DE = DF，部分同学可能会习惯性地证明Rt△IED≌Rt△IFD，用来得到∠EID = ∠FID。这种方法可行，但用今天所学知识解决会更简便。