师：同学你好，这节课我们将学习八年级下册第一章第三节线段垂直平分线第一课时的内容。这节课我们要完善线段垂直平分线的性质定理，并探索线段垂直平分线的判定定理。内容比较丰富，请同学们认真听课，做好笔记。下面开始今天的课堂学习。
在七年级上册，我们通过折纸得出关于线段垂直平分线的结论：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。今天我们来完成对这个命题的证明。首先把这个命题改成符号语言。同学们看，已知如图，直线(MN)垂直(AB)，垂足为(C)，且(AC = BC)，(P)是(MN)上任意一点，求证(PA = PB)。
我们来看具体证明过程。因为(MN)垂直于(AB)，所以(\angle PCA)和(\angle PCB)相等，都等于(90)度。又因为(AC = BC)，(PC = PC)，所以(\triangle APC\cong\triangle BPC)，理由是(SAS)，所以(PA = PB)。
下面请同学们仔细看规范的证明过程，这样我们就完成了对线段垂直平分线这一命题的证明，从而得到线段垂直平分线的性质定理。我们一起来看定理内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。再看定理的符号语言，因为如图，直线(MN)垂直(AB)，垂足为(C)，且(AC = BC)，(P)是(MN)上任意一点，所以(PA = PB)。
下面我们继续探索新知，请同学们思考这个定理的逆命题是什么样子的？它的逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。同学们思考一下，这个逆命题是真命题吗？先想想能不能举到反例，思考一会儿发现没有反例。那我们尝试证明一下这个命题。首先将这个命题改成符号语言。已知线段(AB)，点(P)是平面内一点，且(PA = PB)。求证(P)在(AB)的垂直平分线上。
我们来看具体证明过程。
第一种解法：过(P)作(PC\perp AB)，垂足为(C)。因为(PC\perp AB)，所以(\angle PCA)和(\angle PCB)都等于(90)度。又因为(PA = PB)，(PC = PC)，那么根据直角三角形的(HL)全等判定定理，可得(Rt\triangle PAC\cong Rt\triangle PBC)。根据全等三角形对应边相等，可得(AC = BC)，这样(PC)就平分了(AB)。前面已有(PC\perp AB)，两者结合起来，(PC)垂直且平分(AB)，所以(P)点在(AB)的垂直平分线上。请同学们仔细观察规范的证明过程，在这个证明过程中，很容易看到等腰三角形三线合一的影子，所以由这种方法，很容易拓展到第二种证明方法。
证法二：取线段(AB)的中点(C)，连接(PC)。因为(C)为(AB)的中点，所以(AC = BC)。又因为(PA = PB)，(PC = PC)，这样很容易得到(\triangle APC\cong\triangle BPC)。所以(\angle PCA = \angle PCB)。而(\angle PCA + \angle PCB = 180)度，所以(\angle PCA = \angle PCB = 90)度。这样可得(PC\perp AB)，(PC)又平分(AB)（因为(C)是中点），所以(PC)垂直且平分(AB)，所以(P)在(AB)的垂直平分线上，同学们仔细观察。
由第二种证明方法，还是基于等腰三角形三线合一，我们可以继续拓展出第三种证明方法。
证法三：过(P)作(\angle APB)的角平分线交(AB)于点(C)。因为(AP = BP)，(\angle APC = \angle BPC)，(PC = PC)，根据两边夹角可以判断(\triangle APC\cong\triangle BPC)。根据全等三角形的性质，可得(AC = BC)，(\angle PCA = \angle PCB)。而(\angle PCA + \angle PCB = 180)度，所以(\angle PCA = \angle PCB = 90)度。这样可得(PC\perp AB)，(PC)垂直(AB)且平分(AB)，所以(P)在线段(AB)的垂直平分线上。请同学们仔细观察第三种证法。
这样我们就完成了线段垂直平分线性质定理逆命题的证明，这个逆命题是真命题，从而我们又得到线段垂直平分线的判定定理。来看它的内容：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。看这个定理的几何语言描述：因为(PA = PB)，所以点(P)在(AB)的垂直平分线上。这个判定定理主要作用是判定这个点是否在线段的垂直平分线上，不能判定某条直线是否为垂直平分线。那么如何判断一条直线是否为某个线段的垂直平分线呢？带着这个问题，我们来看这节课的例题。
已知如图，在(\triangle ABC)中，(AB = AC)，(O)是(\triangle ABC)内一点，且(OB = OC)。求证直线(AO)垂直平分线段(BC)。请思考。
我们来看具体求证过程。因为(AB = AC)，根据刚才的判定定理，那么点(A)就在线段(BC)的垂直平分线上。题目中又说(OB = OC)，这样(O)点也在线段(BC)的垂直平分线上。而我们知道线段(BC)的垂直平分线是唯一的，再根据两点确定一条直线，这样就知道直线(AO)就是线段(BC)的垂直平分线。好，同学请看规范的证明过程。