师：通过勾股定理一章的学习，同学们对直角三角形有了更多了解。这节课，我们一起来梳理本章知识点之间的关系，体会知识运用过程中的数学思想和方法。希望通过本节课学习，大家能有以下收获：一、已知直角三角形两边，能熟练运用勾股定理求第三边长；二、已知直角三角形一边及另外两边关系，能借助方程求出未知边长；三、能灵活运用勾股定理构造无理数解决实际问题；四、了解勾股定理的内涵与外延，体会定理证明及使用过程中的数学思想方法。
我们先来梳理知识点。一般三角形若有一个内角是直角，就成为特殊的直角三角形。那直角三角形三边有什么数量关系呢？
生：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是勾股定理。
师：没错，当知道三角形是直角三角形这个“形”的条件，就能得出三边(a^2 + b^2 = c^2)这个“数”的结论。勾股定理是直角三角形边的性质，那直角三角形边的判定方法是什么呢？
生：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，也就是勾股定理的逆定理。
师：非常好。勾股定理是由形得数，勾股定理的逆定理则是由数得形，数形结合的数学思想还体现在勾股定理的证明中。三国时期赵爽在《周髀算经》注释里，把弦图外面四个直角三角形涂红，中间小正方形涂黄。假设每个直角三角形勾为(a)，股为(b)，弦为(c)。注释中说，勾股相乘为朱实二，即(ab)等于两个红色直角三角形面积。(2ab)等于四个红色直角三角形面积。以勾股之差自相乘为中黄实，即中间黄色正方形面积为((b - a)^2)。加差实亦成弦实，即前面的(2ab)与((b - a)^2)相加，也等于以弦为边长的正方形面积(c^2)。整理后就得到(a^2 + b^2 = c^2)。据说勾股定理证明方法有400多种，不乏用拼图割补等以形证数的证法。相传毕达哥拉斯从朋友家地砖上观察思考发现了勾股定理，传为佳话。
除了勾股定理及其逆定理，本章我们还学习了勾股数的概念。你能举出三组勾股数吗？
生：常见勾股数有(3)、(4)、(5)；(5)、(12)、(13)；(7)、(24)、(25)等等，而且它们的正整数倍仍是勾股数。
师：很好。我们来看这些知识在实际问题中怎么运用。任务一，如图网格中每个小正方形边长都是(1)，计算(AB)的长度。所求线段若是水平或竖直的，直接数一数就行。但本题中(AB)是斜的，怎么办呢？
生：构造直角三角形，让(AB)为其斜边，斜化平直，利用勾股定理求解。
师：没错。如图取格点(F)，连(AF)、(BF)。在直角三角形(AFB)中，(AF = 3)，(BF = 2)，(AB = \sqrt{AF^2 + BF^2} = \sqrt{13})。
顶点在格点上的多边形叫格点多边形。你能画出面积为(5)的格点正方形(ACDE)吗？我们很容易画出面积为(1)、(4)、(9)的格点正方形，因为它们边长恰好是正整数(1)、(2)、(3)。现在要画面积为(5)的格点正方形，你怎么想？
生：正方形面积为(5)，边长是(\sqrt{5})，两直角边分别为(1)和(2)的直角三角形斜边长就是(\sqrt{5})。可以在图中找到许多长为(\sqrt{5})的线段，做出格点正方形(ACDE)不难。
师：对。第一题求斜放线段长度，我们构造了直角三角形；第二题画面积为(5)的正方形，想到了(\sqrt{5})。我们已经会用数与形的关系思考解决方案了。那你能把(\sqrt{5})表示在数轴上吗？
生：受到前面启发，(\sqrt{5})可来自两直角边分别为(1)和(2)的直角三角形斜边。在数轴上做这样的直角三角形，再用圆规以原点为圆心，斜边(\sqrt{5})长为半径画弧，与数轴正半轴交点就表示(\sqrt{5})。
师：非常好。当然这个直角三角形也可做成瘦高样子。如图，点(P)就是数轴上表示(\sqrt{5})的点。我们再看一个网格问题，图中格点三角形(ABC)是直角三角形吗？你怎么想？
生：判断三角形(ABC)是不是直角三角形，可以考虑勾股定理的逆定理，先算出三边长度。
师：对，斜化平直，把(AB)看成两直角边分别为(4)和(3)的直角三角形斜边，(AC)看成两直角边分别为(1)和(2)的直角三角形斜边，(BC)看成两直角边分别为(2)和(4)的直角三角形斜边。所以(AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5)，(AC = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5})，(BC = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5})。那么(AB^2 + AC^2 = 25 + 5 = 30)，(BC^2 = 20)，不相等，所以三角形(ABC)不是直角三角形。老师这样做对吗？
生：不对。已知三角形三边长，使用勾股定理逆定理要先确定最长边。本题(AB)是最长边，应先算出两短边(AC)和(BC)的平方和为((\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 = 5 + 20 = 25)，最长边(AB)的平方也是(25)，满足勾股定理逆定理条件(AC^2 + BC^2 = AB^2)，所以三角形(ABC)是直角三角形。一开始直接求出(AB^2 = 25)，(AC^2 = 5)，(BC^2 = 20)会更简洁。
师：非常棒。任务三，类比思考拓展思维。一、方程(x + y = z)有多少个正整数解？
生：比如(x = 1)，(y = 1)，(z = 2)；(x = 1)，(y = 2)，(z = 3)等，有无数组。
师：二、满足(x^2 + y^2 = z^2)，(x)、(y)、(z)都要是正整数，你想到什么？
生：勾股数，比如(x = 3)，(y = 4)，(z = 5)；(x = 5)，(y = 12)，(z = 13)，也有无数组。
师：第三小题，方程(x^3 + y^3 = z^3)有多少个正整数解？这个问题由前两个类比思考提出，老师希望同学们思考这种提出问题的思想，从一次到二次，再到三次，甚至(n)次。问题答案留给有兴趣的同学课后思考。若有结论，可以在班级群和同学、老师交流，也可上网搜索“费马定理”，看看想的对不对。
如果已知直角三角形两边长，利用勾股定理可求出第三边。有时只知道一边长及另外两边关系，就需借助方程解决问题。我们来挑战一下。问题一，如图，直角三角形(ABC)中，(\angle C = 90^{\circ})，(AC = 6)，(AB = 10)，(D)为(BC)上一点，将(AC)沿(AD)折叠，使它落在斜边(AB)上与(AE)重合。求三角形(ABD)的面积。想象折叠过程，图中能求出哪些线段长度？要求三角形(ABD)面积，你怎么想？