师：同学们好，今天我们继续学习一元二次方程的应用。前一节课，我们已经了解了列一元二次方程解实际问题的步骤，现在一起回顾一下。首先是“设”，在审清题意后，设出未知数，找出等量关系并列出一元二次方程；接着“解方程”，求出未知数的值；然后“检验”，检查方程的根是否符合题意，并写出答案。前一节课我们探讨了增长率问题，这节课我们来研究如何用一元二次方程解决几何图形问题。
来看例一，有一块正方形金属片，将其四个角各截去一个相同大小的小正方形后，围成一个高20厘米、容积为2880立方厘米的开口方盒。问原金属片的边长是多少？原金属片是正方形，边长未知，我们设金属片的边长为x厘米。
接下来找等量关系列方程。在找等量关系前，思考一下平面图形是如何围成立体图形的。题目说四周各截去一个相同大小的小正方形，意味着截去的正方形边长相等，折成开口小盒后，小盒的高是20厘米。不难发现，开口小盒的高就是截去的小正方形的边长，所以四个角截去小正方形的边长为20厘米。开口小盒的四周是由剩下中间部分折成的，中间部分是一个正方形，它的每条边是在原边长x厘米的基础上去掉两条20厘米的线段，所以中间部分正方形的边长为x - 40厘米，这部分最后变成开口小盒的底部。
已知开口小盒的体积是2880立方厘米，开口小盒是长方体，根据“底面积×高 = 体积”这个等量关系，可列出方程。因为底面是边长为x - 40的正方形，所以底面积为(x - 40)2，高为20，方程为20(x - 40)2 = 2880。
这个方程用直接开方法最简单，方程两边同时除以20，得到(x - 40)2 = 144。开方可得x - 40 = 12或x - 40 = -12，解得x? = 52，x? = 28。然后检验方程的根是否符合题意，当x = 28时，方盒底部边长28 - 40 = -12，边长不能为负值，所以28这个根不符合题意，舍去。最后保留52这个根，答：原金属片的边长为52厘米。
例一中，等量关系不难找，难点在于找出平面图形与立体图形边的对应关系。有时题中会有多个等量关系，该如何列方程呢？来看例二。
如图，要建一个面积为40平方米的长方形花园ABCD，为节约材料，花园一边AD靠着原有的一面墙，墙长8米，且AD < 8米，另三边用栅栏围成，栅栏总长为24米，求花园一边AB的长。
分析题目，已知四边形ABCD是长方形且面积为40平方米，由此可得等量关系：长方形ABCD的面积 = AB×BC = 40。要求AB的长，设AB的长为x米，此时BC未知，仅这个等量关系列不出方程。再看题目，AD靠着墙长8米，可知AD < 8米，因为BC与AD在长方形中相等，所以BC < 8米。又因为另三边栅栏总长为24米，即AB + BC + CD = 24，在长方形中CD = AB = x，这样就得到两个等量关系。
两个等量关系都有BC，从第二个等量关系可得出BC = 24 - 2x，将其代入第一个等量关系，得到方程x(24 - 2x) = 40。
这个方程可以用配方法、求根公式法或因式分解法求解，解得x? = 10，x? = 2。然后检验根是否符合题意，因为AD < 8米，AD与BC相等，当x = 2时，BC = 20米，超过了8米，不符合题意，舍去。所以保留x = 10，即花园一边AB的长为10米。
在例2中，我们发现两个等量关系都涉及AB和BC，通过一个等量关系表示出BC，再代入另一个等量关系列出一元二次方程。那按照这种方法，还能列出其他方程吗？我们刚才是从第二个等量关系得出BC，若从第一个等量关系可得BC = 40 / x，将其代入第二个等量关系，得到24 = 2x + 40 / x，这个方程不是一元二次方程，它的解法我们下节课学习。
为检验同学们的掌握程度，来看两道练习。
练习一，在一幅长80厘米、宽50厘米的长方形风景画四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图。如果要使整个挂图的面积是5400平方厘米，设金色纸边的宽为x厘米，根据题意列出方程。
题目已设未知数，接下来找等量关系。因为镶边后还是长方形，可根据“长方形面积 = 长×宽”来找等量关系，即镶边后的总面积 = 长×宽。镶边后的总面积是5400平方厘米，镶边后的长为80 + 2x厘米，宽为50 + 2x厘米，所以方程为(80 + 2x)(50 + 2x) = 5400。
有的同学不是按长乘宽算镶边后的总面积，而是认为镶边后的总面积 = 原风景画的面积 + 镶的边的面积。原风景画面积为80×50平方厘米，四周镶的边的面积可看成四个拐角是边长为x的小正方形，面积为4x2，上下两条长为80、宽为x的边，面积为2×80x，左右两条宽为x、长为50的边，面积为2×50x，所以镶边的面积为2×80x + 2×50x + 4x2。由此列出方程80×50 + 2×80x + 2×50x + 4x2 = 5400。对比两个方程，右边都等于5400，左边第二个方程是第一个方程的展开式，两个式子等效，但第一个方程更简单，第二个方程难在表示镶边的面积。所以做题时，要多角度考虑找出和表示等量关系。
再看练习二，一块长方形土地面积为600平方米，长比宽多10米，求这块长方形土地的长与宽。
题目中长与宽都未知，可设长也可设宽。根据“长方形面积 = 长×宽”得到一个等量关系，又因为长比宽多10米，所以“长 = 宽 + 10”，这是另一个等量关系。设这块长方形土地的宽为x米，则长为x + 10米，代入面积表达式可得方程x(x + 10) = 600。用因式分解法解这个方程，得到x? = -30，x? = 20。因为长度不能为负，所以舍去 -30，保留x = 20，那么长就是30米。最后答：这块长方形土地的宽为20米，长为30米。这道题也可以设长为x，同学们可以自己尝试计算。
通过例题学习和练习巩固，我们对用一元二次方程解决几何图形问题有了基本思路和方法。下面对本节课进行小结：
一、巩固了列一元二次方程解应用题的一般步骤。
二、与几何图形有关的问题主要涉及边与边的关系、面积、体积等。
三、与几何图形有关的问题中，数字及数字间的关系隐藏在图形中，要会用图形表示出来，注意找出所有等量关系，进而列出方程求解。
本节课的作业是课本45页第三题、48页第四题和第7题。本节课就到这里，同学们再见。