师：同学们好，今天我们一起来学习新课 17.3 节一元二次方程根的判别式。前几节课，我们系统学习了一元二次方程的各种解法。下面先做个热身练习，请选择简便方法解答下列方程。
第一个方程：$x^2 + 4x + 3 = 0$ 。观察方程各项系数分别是1、4、3，我们可以考虑用因式分解法，把3拆分成1乘以3，这样就能对方程左边进行因式分解，得到$(x + 1)(x + 3) = 0$ 。原来的一元二次方程就被分解为两个一元一次方程：$x + 1 = 0$或者$x + 3 = 0$ 。解这两个一元一次方程，可得方程有两个实数根，$x_1 = -1$，$x_2 = -3$ 。
第二个方程：$x^2 + 4x + 4 = 0$ ，观察方程左边，满足完全平方公式的形式。所以我们可以用配方法，得到$(x + 2)^2 = 0$ ，即$x + 2 = 0$ 。原方程有两个实数根，$x_1 = x_2 = -2$ 。
第三个方程：$x^2 + 4 = 0$ ，我们把4移项到等号右边，得到$x^2 = -4$ 。同学们思考一下，在实数范围内，能找到$x$让这个等式成立吗？显然找不到，所以此方程无实数根。
解答完这三个方程，善于观察的同学会发现它们根的情况有差异。第一个方程有两个不相等的实数根，第二个方程有两个相等的实数根，第三个方程无实数根。那是什么原因导致方程的根出现不同情况呢？这就是我们本节课要研究的主题。一元二次方程的根与各项系数联系紧密，借助一元二次方程的各项系数，通过一系列代数运算就能求得方程的根。来看求根公式。
求根公式是初中阶段一个比较特别的公式，其中含有六种我们学过的基本运算：加法、减法、乘法、除法、乘方运算以及开方运算，这里的开方运算是开平方运算。那么这一步运算要满足什么条件才能顺利进行呢？对，要让开平方运算有意义，就得确保它的被开方数为非负数。此时我们可能会猜想，是不是$b^2 - 4ac$的值不同影响了方程的根呢？下面我们借助公式法重新研究以上三个方程中$b^2 - 4ac$的值。
第一个方程，$b^2 - 4ac = 4^2 - 4×1×3 = 4$ ，$b^2 - 4ac > 0$ ，把它代入求根公式，公式中加根号4与减根号4的值不相等，所以$x_1 ≠ x_2$ ，此方程有两个不相等的实数根。
第二个方程，$b^2 - 4ac = 4^2 - 4×1×4 = 0$ ，$b^2 - 4ac = 0$ ，代入求根公式，会发现公式中的加根号0和减根号0的值完全相等，这就意味着$x_1 = x_2$ ，方程有两个相等的实数根。
第三个方程，注意它的各项系数，$a = 1$，$b = 0$，$c = 4$ 。$b^2 - 4ac = 0^2 - 4×1×4 = -16$ ，$b^2 - 4ac < 0$ ，它还能代入求根公式吗？此时根号下$b^2 - 4ac$无意义，那么求根公式也无意义，这就意味着在实数范围内，找不到方程的根，即无实数根。
通过以上探究，我们发现一元二次方程根的情况是由$b^2 - 4ac$的值决定的，其值为正、负、零，分别对应方程根的三种不同情况。因此，我们给$b^2 - 4ac$取个固定名称，叫根的判别式，用希腊字母$\Delta$表示，即$\Delta = b^2 - 4ac$ 。
通过刚才的探究可知，在一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a ≠ 0$）中，$\Delta > 0$，方程有两个不相等的实数根；$\Delta = 0$，方程有两个相等的实数根；$\Delta < 0$，方程无实数根。反之，如果知道方程有两个不相等的实数根，就能判断出一元二次方程根的判别式$\Delta > 0$；方程有两个相等的实数根，可判断得出$\Delta = 0$；方程无实数根，可知$\Delta < 0$ 。
了解了一元二次方程根的判别式，我们就可以不解方程判断方程根的情况。请看例一，不解方程判别下列方程根的情况。这里展示了三个一元二次方程，我们用今天学的根的判别式来判断。
第一个方程$5x^2 - 3x - 2 = 0$ ，先确定$a$、$b$、$c$的值分别为5、 - 3、 - 2 。然后计算$\Delta$的值，熟悉一下公式，$\Delta = b^2 - 4ac$ ，依次代入$a$、$b$、$c$的值，得$\Delta = (-3)^2 - 4×5×(-2) = 49$ ，$49 > 0$ ，所以原方程有两个不相等的实数根。
第二个方程$25y^2 + 4 = 20y$ ，这个方程也能用$\Delta$判断。有些同学一眼看出$a = 25$，$b = 4$，$c = 20$，这种判断正确吗？大家要注意，$a$、$b$、$c$指的是一元二次方程一般式中的各项系数，所以要先把这个方程化为标准形式，得到$25y^2 - 20y + 4 = 0$ 。现在再看$a$、$b$、$c$的值，$a = 25$，$b = - 20$，$c = 4$ 。现在可以计算$\Delta = (-20)^2 - 4×25×4 = 0$ ，所以此方程根的情况是有两个相等的实数根。
第三个方程$2x^2 + \sqrt{3}x + 1 = 0$ ，方程已是标准形式，能快速判断出$a$、$b$、$c$的值依次为2、$\sqrt{3}$、1 。代入根的判别式，$\Delta = (\sqrt{3})^2 - 4×2×1 = - 5 < 0$ ，所以此方程根的情况是无实数根。
通过例一可知，以后解一元二次方程可以先估算$\Delta$的值，如果$\Delta$是负数，就没必要继续解方程，直接判定方程无实数根，这样能节约时间，提高解题效率。
来看例二，已知关于$x$的方程$x^2 - 3x + k = 0$ ，判断方程根的情况。同学们看到这题第一反应可能是计算$\Delta$，不过老师有个问题，为什么这题能用$\Delta$呢？我们要先确定这个方程的身份，这是什么方程？这是一元二次方程。大家要注意，今天学的根的判别式，使用范围专门针对一元二次方程，要关注方程的次数。现在可以计算$\Delta$，$\Delta = (-3)^2 - 4×1×k = 9 - 4k$ 。$\Delta$究竟是大于0、小于0还是等于0呢？我们发现$\Delta$的取值中包含字母$k$，$k$的值变化会影响$\Delta$的范围，所以要根据$k$的取值不同进行分类讨论。
第一种情况，何时$\Delta > 0$，方程有两个不相等的实数根？要使$\Delta > 0$，即$9 - 4k > 0$ ，可求出$k < \frac{9}{4}$ ，所以$k < \frac{9}{4}$时，方程有两个不相等的实数根。
第二种情况，何时$\Delta = 0$，方程有两个相等的实数根？要使$\Delta = 0$ ，即$9 - 4k = 0$ ，解得$k = \frac{9}{4}$ ，所以$k = \frac{9}{4}$时，方程根的情况是有两个相等的实数根。
最后一种情况，何时$\Delta < 0$，方程没有实数根？只需要解不等式$9 - 4k < 0$ ，得出$k$的范围，$k > \frac{9}{4}$ ，所以$k > \frac{9}{4}$时，方程没有实数根。
通过例一和例二，我们感受到用根的判别式能方便快捷地判断一元二次方程根的情况。那这个知识怎么逆向使用呢？请看例三。
若关于$x$的一元二次方程$(a + 2)x^2 - 2ax + a + 1 = 0$有实数根，求$a$的取值范围。
分析题意，这个一元二次方程根的情况已明确是有实数根，有实数根包含两种基本情况，即有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根。据此可判断出$\Delta$的取值范围，两个不相等的实数根时$\Delta > 0$，两个相等的实数根时$\Delta = 0$ ，进而推出$a$的取值范围。
因为一元二次方程有实数根，所以$\Delta$的范围是大于等于0。计算$\Delta$，确定各项系数依次为$a + 2$、 - 2$a$和$a + 1$ 。将各项系数代入$\Delta$中，$\Delta = (-2a)^2 - 4(a + 2)(a + 1) \geq 0$ ，去括号合并同类项得$-10a - 8 \geq 0$ ，解出$a$的范围$a \leq - \frac{2}{3}$ 。
同学们思考一下，$a \leq - \frac{2}{3}$是这题的最终结果吗？还有其他因素要考虑吗？看一元二次方程的表达式，观察各项系数发现了什么？二次项系数含有字母$a$，作为一元二次方程，二次项系数一定不等于0，所以找到一个隐含的不等关系，$a + 2 ≠ 0$ ，解得$a ≠ - 2$ 。综合这两个不等式，得出$a$的最终范围，$a \leq - \frac{2}{3}$且$a ≠ - 2$ 。
通过以上例题，我们基本了解了一元二次方程根的判别式的应用，下面通过一些习题巩固。
第一题，不解方程判断下列方程根的情况。
第一个方程$x(x + 10) = 3$ ，先将方程变形为$x^2 + 10x - 3 = 0$ 。根据$a$、$b$、$c$的值计算，$\Delta = 10^2 - 4×1×(-3) = 112$ ，是个正数，所以有两个不相等的实数根。做到这，有些同学没计算$\Delta$就判断出和老师一样的结果，他们怎么判断的呢？请同学们观察原方程标准形式中各项系数的符号，发现了什么？发现$a$与$c$恰好异号，$ac$为异号，$b^2$为非负数，减去$4ac$一定能得到正数，所以据此也能判断原方程有两个不相等的实数根。通过这个方法，大家有什么发现呢？请同学们课后总结。
第二个方程$3y^2 + 25 = 10\sqrt{3}y$ ，将方程变为标准形式$3y^2 - 10\sqrt{3}y + 25 = 0$ ，计算$\Delta = (10\sqrt{3})^2 - 4×3×25 = 0$ ，此方程根的情况是有两个相等的实数根。
第二题，若$24k + 6 < 0$ ，判断关于$x$的一元二次方程$x^2 + x - k = 0$根的情况。依然借助根的判别式判断，计算根的判别式$\Delta = 1^2 - 4×1×(-k) = 1 + 4k$ 。$1 + 4k$取何值呢？还需要分类讨论吗？审题看有没有关于$k$的信息，发现$24k + 6 < 0$ ，解这个不等式得$k < - \frac{1}{4}$ ，把$k < - \frac{1}{4}$代入$1 + 4k$分析，发现$1 + 4k < 0$ ，即$\Delta < 0$ ，所以此方程无实数根。
第三题，判断关于$x$的一元二次方程$x^2 - (a + 4)x + a = 0$根的情况。还是用根的判别式判别，计算根的判别式$\Delta = (a + 4)^2 - 4×1×a$ ，去括号得到$a^2 + 8a + 16 - 4a$ ，合并同类项得$a^2 + 4a + 16$ 。
化简到这一步，考虑$\Delta$的取值。观察这个二次三项式，有$a^2$和16，会联想到完全平方公式，但16不符合完全平方公式对常数项的要求，所以考虑对这个二次三项式改造，保持$a^2$不变，把$4a$拆分成$2×a×2$的形式，为这个二项式配上$2^2$，把剩余的12放到最后一项位置，得到$(a + 2)^2 + 12$ 。$(a + 2)^2$是非负式，所以能得$\Delta > 0$ ，此方程有两个不相等的实数根。
通过第三题可知，当$\Delta$是二次式时，可以考虑在$\Delta$中构造非负式来判断$\Delta$的值。
下面请同学们翻开课本，一起归纳小结本节课主要内容。从本节课学习中，我们了解到一元二次方程根的情况由它的判别式$\Delta$决定，$\Delta = b^2 - 4ac$ 。了解$\Delta$，就能不解方程判断方程根的情况。当$\Delta > 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta < 0$时，一元二次方程没有实数根。反之，了解一元二次方程根的情况，也能判断出$\Delta$的取值信息。
使用一元二次方程根的判别式时，要注意哪些问题呢？第一，计算根的判别式前，需先将方程化为标准形式。第二，根的判别式使用范围是一元二次方程，要注意隐含条件，二次项系数$a ≠ 0$ 。
今天的作业是课本36面练习的1、2、3、4题。以上就是本节课的全部内容，同学们再见。