师：同学们好，这节课我们继续学习一元二次方程的解法。之前几节课，大家学习了一元二次方程的解法，还记得有哪几种吗？
生：直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法这四种。
师：对，通过前面的学习，相信同学们对这四种解法已经很熟悉了，也能灵活选用其中一种或几种来求解具体方程。为检验大家的学习效果，请完成下面的练习，解下列一元二次方程。同学们完成了吗？下面看看做得对不对。我们先看第一个方程，方程左边有((x - 2)^2)这样一个完全平方形式，那么我们可将方程稍作变形，用直接开平方法继续求解。直接开平方可得(x - 2 = ±3)，写成两个一次方程，再求解这两个方程，就得到(x_1 = 5)，(x_2 = -1)，大家是这样做的吗？
我们再看第二个方程，(x^2 - 4x = 0)，这是一个缺少常数项的方程。我选用因式分解法求解，提取公因式(x)，可得(x(x - 4) = 0)，写成两个一次方程，再求解这两个一次方程，方程的根就是(x_1 = 0)，(x_2 = 4)，大家是不是也用这个方法呢？
接着看第三个方程，(x^2 - 4x + 2 = 0)，这是个一般形式的方程。我发现它二次项系数是(1)，一次项系数是偶数，所以选用配方法求解。首先移项，接着在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，这样等式左边就可以写成((x - 2)^2)，右边是(2)。现在可以直接开平方，开平方得到(x - 2 = ±\sqrt{2})，写成两个一次方程，再求解这两个一次方程，就得到(x_1 = 2 + \sqrt{2})，(x_2 = 2 - \sqrt{2})。
还有其他方法求解这个方程吗？对，其实还可以用公式法，这里老师就不再赘述了。我们来看第四个方程，(2x^2 - 3x + 1 = 0)，老师选用公式法求解，先写出它(a)、(b)、(c)的值，分别是(a = 2)，(b = -3)，(c = 1)。再求出(b^2 - 4ac)的值为(1)，大于(0)。将各项系数代入求根公式，就可求得(x = \frac{3}{4} ± 1)，解出方程的两个根，(x_1 = 1)，(x_2 = \frac{1}{2})。
同学们做得怎么样？都做对了吗？这四个方程，老师用了四种不同方法求解。其实无论用哪种方法，我们都是将二次方程转化成一次方程求解，所以一元二次方程解法的基本思路就是降次。既然四种解法基本思路相同，那这四种解法之间有联系吗？接下来我们对这四种解法进行更深入剖析。
我们先看一个具体例子，解一元二次方程(x^2 - 4x - 5 = 0)。解这个具体方程时，我们总会选择较简便的方法，这个方程能用直接开平方法吗？
生：不行。
师：那可以用哪种方法将它转化成能用直接开平方法求解呢？
生：配方法。
师：对，首先移项，接着在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，这样等式左边写成((x - 2)^2)，右边是(9)，配方完成。现在这个式子就可以直接开平方求解了，直接开平方得到(x - 2 = ±3)，写出两个一次方程，再求解这两个一次方程，就得到方程的根，分别是(x_1 = 5)，(x_2 = -1)。
我们看，这是配方之后得到的结果((x - 2)^2 = 9)，把这个式子单独拿出来，将(9)从右边移到左边，得到((x - 2)^2 - 9 = 0)。同学们看看这个式子左边能分解吗？
生：能。
师：对，我们将(9)看成(3)的平方，左边就可以因式分解成((x - 2 - 3)(x - 2 + 3))，再整理就得到((x - 5)(x + 1) = 0)，得到这样一个方程，大家是不是很熟悉？
生：熟悉。
师：对，我们用因式分解法求解这个方程就有这一步。所以这个方程也可以用因式分解法求解，首先得到((x - 5)(x + 1) = 0)，再写成两个一次方程，求解这两个一次方程，就得到方程的根是(x_1 = 5)，(x_2 = -1)。那我们回过头看一下刚才因式分解的结果是怎么得到的呢？
生：由配方的结果((x - 2)^2 = 9)，变形成((x - 2)^2 - 9)之后进行因式分解得到的。
师：通过这个具体例子，我们发现了直接开平方法、因式分解法与配方法之间的关系。用配方法将一个一般形式的方程总可以转化成能用直接开平方法和因式分解法求解的形式。那公式法和配方法有关联吗？大家还记得公式法的求根公式是怎么得到的吗？我们一起来回顾一下，解一元二次方程(ax^2 + bx + c = 0)，这个方程应该用哪种方法求解呢？
生：配方法。
师：对，首先移项，接着化二次项系数为(1)。因为(a ≠ 0)，等式两边同时除以(a)，就得到(x^2 + \frac{b}{a}x = - \frac{c}{a})。在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，也就是((\frac{b}{2a})^2)，这样等式左边就可以写成((x + \frac{b}{2a})^2)，右边计算得到(\frac{b^2 - 4ac}{4a^2})，配方完成。
接着我们看能不能直接开平方，能不能直接开平方要看等式右边(\frac{b^2 - 4ac}{4a^2})是负数还是非负。因为(a ≠ 0)，所以(4a^2 > 0)，那么这个式子是负数还是非负数，就由(b^2 - 4ac)决定。我们分两种情况讨论。当(b^2 - 4ac < 0)时，(\frac{b^2 - 4ac}{4a^2} < 0)，是一个负数，不能开平方，所以这个方程在(b^2 - 4ac < 0)时无实数根。
再看，当(b^2 - 4ac ≥ 0)时，这时(\frac{b^2 - 4ac}{4a^2} ≥ 0)，是一个非负数，可以直接开平方，我们直接开平方就得到(x + \frac{b}{2a} = ±\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})，再继续求解这个方程，就得到方程的根是(x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})。
大家看这个式子是不是很熟悉？
生：熟悉，是一元二次方程的求根公式。
师：对，现在清楚一元二次方程的求根公式是怎么得到的了吧？就是用配方法求解方程(ax^2 + bx + c = 0)，就可以得到一元二次方程的求根公式。我们用配方法解方程时，一般先移项再化二次项系数为(1)，接着配方。那如果不移项，能不能直接配方呢？我们一起来看。因为不用移项，我们先化二次项系数为(1)，因为(a ≠ 0)，等式两边同除以(a)，得到(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0)。我们在配方时往往对含未知数的项进行配方，这里把含未知数的两项用括号括起来，将左边分成两部分，这样只要对括号里面的部分进行配方就行。在括号里面同时加减((\frac{b}{2a})^2)，为什么要同时加减这个数呢？
生：因为同时加减这个数，才能保证等式左边的值不变。
师：现在括号里面前三项可写成完全平方形式，把最后一项拿出来，就得到这样一个式子。现在可以把括号里面部分写成((x + \frac{b}{2a})^2)，括号外面式子计算得到(-\frac{b^2 - 4ac}{4a^2})。
和刚才一样，我们也要对(b^2 - 4ac)分情况讨论。当(b^2 - 4ac < 0)时，(\frac{b^2 - 4ac}{4a^2} < 0)，那么(-\frac{b^2 - 4ac}{4a^2})就是一个正数，而前面((x + \frac{b}{2a})^2)是完全平方形式，是非负数，这样等式左边是正数，等式右边是(0)，所以没有任何未知数的值能让这个等式成立。因此，当(b^2 - 4ac < 0)时，方程无实数根。
我们再看，当(b^2 - 4ac ≥ 0)时，(\frac{b^2 - 4ac}{4a^2} ≥ 0)，是非负数。我们知道非负数可写成一个数的平方形式，那么可以把这个方程写成((x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})^2 = 0)，也就是将(\frac{b^2 - 4ac}{4a^2})写成((\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})^2)。现在这个方程左边就可以因式分解，分解成这样一个形式，继续求解这个方程，就得到方程两个根，分别是(x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})，(x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})。
方程解完了，我们可以看到这里再次验证了因式分解法和配方法之间的关系。而且把这两个根合并起来得到的式子大家是不是很熟悉？
生：熟悉，也是一元二次方程的求根公式。
师：所以一元二次方程四种解法之间确实有密切联系，它们到底有什么联系呢？我们来归纳一下。
任何一个一元二次方程(ax^2 + bx + c = 0)，都可以通过配方变成((x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2})的形式。当(b^2 - 4ac ≥ 0)时，就可以直接开平方继续求解方程，直接开平方求解出来方程的根就是(x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})，这个式子就是一元二次方程的求根公式。如果对配方的式子稍作变形，变成((x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = 0)的形式，当(b^2 - 4ac ≥ 0)时，就可以继续用因式分解法求解方程。所以配方法是其他三种方法的基础，是非常重要的数学方法，同学们一定要牢牢掌握配方法。为让同学们更深刻感受一元二次方程四种解法之间的关系，我们一起来做下面练习。
一、用不同方法解一元二次方程((x - 3)^2 = 2(x - 1)^2)。请同学们先想一想，这个方程可以用哪些方法求解呢？好，我们看这个方程左边和右边都是完全平方形式，也就是配方好的方程，那么可以用直接开平方法求解，我们先用直接开平方法解这个方程。直接开平方得到(x - 3 = ±(2x - 1))，写成两个一次方程，再求解这两个一次方程，可得方程的根为(x_1 = -2)，(x_2 = \frac{4}{3})。
刚才用了直接开平方法，那能用别的方法吗？
生：还可以用因式分解法。
师：对，只要将方程右边移到左边，就可以进行因式分解，分解成((x - 3 - 2x + 1)(x - 3 + 2x - 1))，整理得到((-x - 2)(3x - 4) = 0)，写出两个一次方程并求解，就得到(x_1 = -2)，(x_2 = \frac{4}{3})。能用两种特殊方法求解，当然也能用一般方法求解。
我们先看配方法，用配方法求解方程需要是一般形式的方程，先将这个方程化为一般形式，得到(3x^2 + 2x - 8 = 0)，移项以及化二次项系数为(1)，得到(x^2 + \frac{2}{3}x = \frac{8}{3})。在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，等式左边就可以写成((x + \frac{1}{3})^2)，右边为(\frac{25}{9})，直接开平方就可求得(x + \frac{1}{3} = ±\frac{5}{3})，分别写出两个根，(x_1 = -2)，(x_2 = \frac{4}{3})。
我们再用公式法求解，先要将方程化为一般形式，接着写出各项系数，计算出(b^2 - 4ac = 100)，大于(0)，将各项系数代入求根公式就得到(x = \frac{-2 ± 10}{6})，写出方程的两个根，(x_1 = -2)，(x_2 = \frac{4}{3})。
我们再看第二个练习，用不同方法解一元二次方程(3x^2 - 4x - 7 = 0)。请同学们先想一想能用哪些方法求解。我们先用配方法试试，化二次项系数为(1)以及移项，得到(x^2 - \frac{4}{3}x = \frac{7}{3})。在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，等式左边就可以写成((x - \frac{2}{3})^2)，右边为(\frac{25}{9})，直接开平方可得(x - \frac{2}{3} = ±\frac{5}{3})，求出方程的两个根(x_1 = \frac{7}{3})，(x_2 = -1)。
那能用因式分解法吗？
生：能。
师：对，因为配方法是因式分解法的基础，我们可以利用配方的结果((x - \frac{2}{3})^2 = \frac{25}{9})，将(\frac{25}{9})移到等式左边，这样等式左边就可以进行因式分解，分解成((x - \frac{2}{3} - \frac{5}{3})(x - \frac{2}{3} + \frac{5}{3}))，整理后再求解这个方程，就得到方程的两个根(x_1 = \frac{7}{3})，(x_2 = -1)。
最后我们用公式法求解，首先写出各项系数，计算出(b^2 - 4ac)的值为(100)，大于(0)，代入求根公式就得到(x = \frac{4 ± 10}{6})，接着写出方程的两个根即可。刚才用了三种方法求解这个方程，我们可以看到因式分解法和公式法都是基于配方法完成的。所以可以说配方法是一元二次方程解法的基础。
那接下来我们一起总结一下今天这节课学习了什么。在今天这节课里，我们探究了一元二次方程四种解法之间的关系。通过学习，我们知道配方法是其他三种方法的基础。对于一元二次方程(ax^2 + bx + c = 0)，总可以用配方法把它配成((x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2})的形式。在(b^2 - 4ac < 0)时，方程无实数根；在(b^2 - 4ac ≥ 0)时，就可以对配方后的式子直接开平方求解方程，也可以将配方的式子变形得到((x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = 0)，用因式分解法求解方程。而对配方好的式子先直接开平方再求解，就可得到一元二次方程的求根公式。所以配方法是非常重要的数学方法，同学们一定要牢牢掌握这种方法。接下来请同学们看一下今天的作业。好的，这节课就讲到这里，同学们再见。