师：昨天我们学习了二次根式的定义，形如$\sqrt{a}$（$a\geq0$）的式子就是二次根式。还学了它的性质，具有双重非负性，且$(\sqrt{a})^2 = a$。那很自然就想问，如果$a$先开方再平方是它本身，把顺序颠倒，$a$先平方再开方，结果还是它自己吗？今天我们就来探讨这个问题。
首先，这里的$a$一定大于等于$0$吗？显然不是，无论$a$取何实数，$a$的平方都非负，满足被开方数条件，所以$a$可以是正数、$0$，也可以是负数。当$a$是正数时，比如$\sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3$，对于正数，先平方再开方，结果仍是它本身，$0$也是如此。
我们更关注$a$为负值时的情况。例如，$\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{3^2} = 3$，把$\sqrt{(-3)^2}$里的$-3$和结果$3$对照，$-3$和$3$互为相反数。为更清楚，把等号右边$3$写成$-(-3)$的形式，显然不是它本身。再如，$\sqrt{(-\frac{7}{5})^2} = \sqrt{(\frac{7}{5})^2} = \frac{7}{5}$，对照来看，当$a$是负数时，$\sqrt{a^2}$实际上是$a$的相反数。注意，这里$a$是负数，而$-a$是正数，这种情况平常少见，同学们容易忽视。
到此，我们得出结论，$\sqrt{a^2}$的化简结果不唯一，需分情况讨论：当$a\geq0$时，结果为$a$；当$a\lt0$时，结果是它的相反数。同学们回忆下，前面哪里学过类似表达形式？对，是绝对值。由此得到二次根式的基本性质二。现在用这个性质来解题。
第一小题，$\sqrt{(-5)^2}$，就是$|-5|$，结果等于$5$。第二小题，对于$\sqrt{16x^2}$，先根据积的乘方逆运算，把被开方数变形为$(4x)^2$，去根号化简得$|4x|$。再结合已知条件$x\gt0$，可知$4x\gt0$，所以去绝对值后结果是$4x$。
第三小题，对于$\sqrt{a^2b^2}$，把被开方数变形为$(ab)^2$，去根号化简得$|ab|$。已知$a\lt0$，$b\gt0$，一正一负，乘积为负，去绝对值后变为它的相反数。
接下来，回归课本做练习。第一小题，$\sqrt{(-0.2)^2} = | -0.2| = 0.2$。第二小题，$|-\frac{1}{7}| = \frac{1}{7}$。第三、四小题，根号前都有负号，先看根式，$\sqrt{2^2} = |2|$，$\sqrt{(-2)^2} = | -2|$，结果都是$2$，再连同前面负号，最终答案都是$-2$。
刚才解决的问题，根号里要么是数，要么是单项式，现在难度提升，被开方数变为多项式。来看例2。
第一小题，$\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2}$，去掉根号后化简结果是$|1 - \sqrt{2}|$。怎么去绝对值呢？因为$\sqrt{2}\gt1$，所以$1 - \sqrt{2}$是负数，去绝对值后变为它的相反数，最终答案是$\sqrt{2} - 1$。
第二小题，$\sqrt{(a - 3)^2}$，把$a - 3$看作整体，去掉根号后得$|a - 3|$。怎么考虑$a - 3$的正负情况呢？已知$a\lt3$，所以$a - 3\lt0$，去绝对值后变为它的相反数。
第三小题，根号里分母$x^2 - 2x + 1$是完全平方式，即$(x - 1)^2$，那么原式可化简为$\frac{|x|}{|x - 1|}$。怎么去绝对值呢？已知$x\gt1$，所以$x - 1\gt0$，$x\gt0$，分子分母都为正，整个分式为正，绝对值可直接去掉。
难度再升级，来看挑战题。第一小题，被开方数$10^{-2}$，$10^{-2} = \frac{1}{10^2}$，所以可写为$|\frac{1}{10}|$，最终结果是$\frac{1}{10}$。第二小题，表达式中有两个根式，形式一致，都是先平方再开方，根据基本性质二，可得出两个绝对值相加的形式。因为$a$介于$1$和$2$之间，所以$a - 1\gt0$，$2 - a\gt0$，两个整体都是正值，绝对值可直接去掉，然后去括号合并同类项，最终结果为$1$。