师：同学们，课程开始，我们先解决一个身边的实际问题。学校准备对一块长为a米、宽为b米的矩形空地进行绿化改造，大家能回答以下问题吗？这块空地的周长是多少？面积又是多少呢？已知长为a，宽为b，那么周长就是2a + 2b，面积是它们的乘积ab。
如果这次改造的总费用为c元，那么每平方米的改造费用是多少钱呢？我们用总费用c除以刚才得到的面积ab，即$\frac{c}{ab}$。继续，如果要在这个矩形空地中规划出四块正方形，用来种植新品种的花木，这四块正方形的面积依次为25平方米、3平方米、2s平方米以及1 - s平方米。大家能求出这四个正方形的边长各是多少吗？
生：答案分别是5、$\sqrt{3}$、$\sqrt{2s}$以及$\sqrt{1 - s}$。
师：同学们，都答对了吗？大家看，我们一共得到了七个式子，现在能不能设立一个标准，对这七个式子进行分类呢？
生：有的同学把数字放在一起，有的同学把字母归为一类。
师：老师是这样分的，2a + 2b是一个多项式；a、b、5是单项式，它们都属于整式；$\frac{c}{ab}$显然是个分式；$\sqrt{3}$是一个无理数。我们知道一个数或者单独的字母是单项式，但是像$\sqrt{2s}$、$\sqrt{1 - s}$这种类型的式子，它既不是单项式，也不是多项式，却和$\sqrt{3}$长得很相像。对我们来说，这是一种全新的代数式形式。我们给这种新类型的式子单独赋予一个名称，叫它二次根式，共同走进今天的课题。同学们，能试着给二次根式下个定义吗？当遇到一个想说又不大能说得清楚的概念时，通常会选择用举例的方式，可例子举不完，怎么办呢？
生：形如$\sqrt{a}$的式子叫做二次根式。
师：实际上，这里的$\sqrt{a}$从计算角度看，它是算术平方根；从数学表达式角度看，它是二次根式。同学们再想想，当a取什么值的时候，$\sqrt{a}$没有意义呢？
生：负数没有算术平方根，所以a只能取正数或者0。
师：对，要把这个限定条件补充在定义里。同学们注意，这里的被开方数既可以是数，也可以是一个式子。对于一些说不太清楚的概念，我们通常用这样的方式，也就是什么什么样的样子，再加上它必须满足的条件来下定义，这是一种通法。来做个小练习，下面各式中哪些是二次根式呢？第一小题$\sqrt{7}$，显然满足。
生：第2小题$\sqrt[3]{8}$，根指数是3不是2，不满足要求。
师：第3小题$\sqrt{m}$，我们不知道m的取值，m是否一定大于等于0不确定，所以$\sqrt{m}$不是。
生：第4小题$\sqrt{5 - a}$和刚才类似，我们也不清楚5 - a的取值情况，所以不是。
师：第5小题，虽然不知道a的取值，但a2一定是非负的，再加上1，这个被开方数整体一定是正数，所以满足条件。
生：第6小题$\sqrt{x^{2}y}$，x2一定大于等于0，已知y也大于等于0，所以它们的乘积大于等于0，是二次根式。
师：同学们，第3和第4小题要满足什么样的条件才能保证是二次根式呢？
生：m要大于等于0，5 - a也要大于等于0。
师：总结一下，要判断一个表达式是否为二次根式，需要满足两个条件：第一，根指数是2；第二，被开方数一定要大于等于0，这两个条件必须同时满足，缺一不可。再来看看这道例题，x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？第一小题$\sqrt{x + 3}$。
生：被开方数这个整体要非负，所以由x + 3 ≥ 0，解不等式得出x ≥ - 3，当x ≥ - 3的时候，这个式子在实数范围内有意义。
师：第二小题，被开方数是x2，它一定是非负的，所以无论x取什么实数，$\sqrt{x^{2}}$在实数范围内都有意义。下面对第2小题的形式稍加变形，答案会有变化吗？
生：没有变化。
师：第三小题，1 - 2x作为被开方数，必须大于等于0，$\sqrt{1 - 2x}$作为分母又不能为0。结合这两个条件，1 - 2x只能大于0，解不等式得出x ＜ $\frac{1}{2}$，所以当x ＜ $\frac{1}{2}$时，这个式子在实数范围内有意义。那么对第三小题进行一个简单的变形。
生：这里的x + 2也要满足大于0，进而解出x大于 - 2。
师：好，现在回到开篇的$\sqrt{2s}$和$\sqrt{1 - s}$，如果要保证它们都是二次根式，s需要满足什么样的条件呢？
生：2s要大于等于0，1 - s也要大于等于0。
师：老师把这两个式子中间补充上一个加号，那么这个时候s又满足什么样的取值范围了呢？
生：在两个不等式中间加上一个“且”，它们俩必须同时成立，解出s的取值范围是在0到1之间。