师：同学们好，今天我们一起学习第20章第二节数据的集中趋势的应用。在前面的学习中，我们学过哪些关于数据集中趋势的统计量呢？
生：平均数、中位数、众数。
师：很好。我们先回顾下平均数，一般来说，如果有n个数据，$X_1$，$X_2$，$X_3$，一直到$X_n$ ，那么$\overline{X}$等于$\frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$ ，这就是这组数据的平均数。对于这n个数，如果$X_1$出现了$F_1$次，$X_2$出现了$F_2$次，$X_k$出现了$f_k$次，其中$F_1 + F_2 + \cdots + F_k = n$ ，那么$\frac{X_1 \times F_1 + X_2 \times F_2 + X_3 \times F_3 + \cdots + X_k \times f_k}{F_1 + F_2 + F_3 + \cdots + F_k}$，叫做$X_1$，$X_2$ ，一直到$X_k$这k个数的加权平均数。其中$F_1$，$F_2$ ，$f_k$叫做$X_1$，$X_2$ ，$X_k$的权。
当一组数据按照大小顺序排列后，位于正中间的一个数据（当数据的个数为奇数个时），或正中间两个数据的平均数（当数据的个数为偶数个时），叫做这组数据的中位数。而在一组数据中出现次数最多的数据，叫做这组数据的众数。下面我们利用这些表示数据集中趋势的量来解决生活中的相关问题。
知识点一，平均数的计算。第一题，为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展“学党史、颂党恩、跟党走”青年师生主题演讲比赛，组织5名大众评委和一名专业评委分别对参赛选手的演讲进行打分。下表为评委们给选手甲的打分情况。第一小题，求选手甲的大众得分是多少？
所谓大众得分，即5名大众评委的平均分。根据平均数的定义，我们不难得出选手甲的大众得分为5名大众评委的打分总和除以5，即$\frac{1}{5}×(92 + 93 + 91 + 95 + 89) = 92$分。
第二小题，求选手甲的专业得分是多少？专业得分即根据专业评委的打分，按照演讲内容、表现技巧、整体形象5 : 3 : 2的比例计算。则选手甲的专业得分为$\frac{90×5 + 88×3 + 93×2}{5 + 3 + 2} = 90.6$分。
第三小题，求选手甲的最终得分是多少？最终得分即根据大众得分占40%、专业得分占60%的比例计算。由一、二可得，大众得分为92分，专业得分为90.6分，所以选手甲的最终得分为$92×40% + 90.6×60% = 90.8$分。
知识点二，中位数和众数的应用。第一题，在疫情防控期间，某口罩生产厂家有14名工人，一天生产的口罩数量情况统计如下表，求这14名工人生产口罩个数的中位数和众数为多少？
我们将这14名工人生产口罩个数按照从小到大的顺序排列后为：4个1800，3个2000、2个2200、1个2400和4个2600。由于数据的个数为偶数个，所以这组数据的中位数为中间两个数，即第7个和第8个数的平均数，即这14名工人生产口罩个数的中位数是2100个。在这组数据中，1800和2600出现的次数最多，皆为4次，故众数为1800个和2600个。
第二题，小明调查了班级里20位同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成了如图所示的统计图。在这20位同学本学期购买课外书的花费中，众数和中位数又是多少呢？
由扇形统计图可知，在这20位同学中，购买课外书花费100元的同学占10%，人数为$20×10% = 2$人；购买课外书花费80元的同学占25%，人数为$20×25% = 5$人；购买课外书花费50元的同学占40%，人数为$20×40% = 8$人；购买课外书花费30元的同学占20%，人数为$20×20% = 4$人；购买课外书花费20元的同学占5%，人数为$20×5% = 1$人。
将这20位同学购买课外书的花费按照从大到小的顺序可排列为：2个100、5个80、8个50、4个30、1个20。这组数据的个数为偶数个，中间两个数据皆为50，所以中位数为50元。数据50出现的次数最多，为8次，故众数是50元，所以答案选A。
第3题，期末考试结束后，某中学从八年级随机抽取了50名学生的数学成绩，并对数据进行整理、描述和分析。下面给出了部分信息，求抽取的学生数学成绩的中位数为多少？
由题意可得，在80 - 90这一组的16名学生成绩已按照从小到大的顺序排列。最中间的两个数都是84，那么抽取的学生数学成绩的中位数是84分吗？不对，抽取的是50名学生的数学成绩，排序后，由于$2 + 5 + 14 = 21$，因此第25名和第26名成绩都是83分，则中位数为83分。
知识点三，平均数、中位数和众数的综合应用。第一题，下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表。若成绩的平均数为23分，中位数为a分，众数为b分，让我们求a - b的值。
根据这10名同学中考体育测试成绩的平均数为23分，我们可得算式：$\frac{30×2 + 25×x + 20×y + 15×1}{10} = 23$。由于人数总和为10，可得$2 + x + y + 1 = 10$。通过化简可得方程组$\begin{cases}5x + 4y = 31 \ x + y = 7 \end{cases}$，进一步求解得$x = 3$，$y = 4$。
将这10名同学中考体育测试成绩按照从大到小的顺序排列为：两个30、3个25、4个20和一个15，第五个和第六个数分别为25和20，它们的平均数为22.5，则a = 22.5。在这组数据中，出现次数最多的数是20，故b = 20，则a - b的值为2.5，答案选C。