师：同学们好，今天我们一起学习第二十章第二节数据的集中趋势与离散程度的第八课时。学校马上要开展第十届校运会，老师准备从班级选取一名负责人、4名跳绳比赛选手和一名跳远比赛选手，想请大家帮帮忙。现在班级有两名负责人候选人张岩和吴昕，他们的各项得分如表所示。请计算两人各自三项成绩的平均数，你们认为应该由谁来负责呢？那什么是平均数呢？一般来说，n个数$X_1$，$X_2$，一直到$X_N$的平均数，就是这n个数的和除以数据的个数n。若k个数$X_1$，$X_2$，$X_3$，一直到$X_K$的权分别是$F_1$，$F_2$，一直到$F_K$，则这组数据的加权平均数为（$X_1$乘以$F_1$加上$X_2$乘以$F_2$，一直加到$X_k$乘以$F_k$）除以（$F_1$加$F_2$一直加到$F_k$）。平均数反映数据的平均水平，但易受极端数值的影响。
通过计算，我们可得张岩三项成绩的平均数为96分，吴昕三项成绩的平均数也是96分，因此仅通过三项成绩的平均数没法挑选出负责人。如果以2 : 5 : 3的比例计算两人各自三项成绩的平均数，你们认为应该由谁来负责呢？此时张岩的平均分为（99×2 + 92×5 + 97×3）÷（2 + 5 + 3） = 94.9分。吴昕的平均分为（96×2 + 98×5 + 94×3）÷（2 + 5 + 3） = 96.4分。因为吴昕同学的平均分大于张岩同学的平均分，所以选择吴昕为负责人比较合适。
下面我们进行跳绳参赛者选拔，表格中有7名候选人及他们一分钟跳绳的个数。我们只需要知道这组数据的平均数、中位数还是众数，就可以挑选出4名参赛者呢？所谓中位数，就是将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则称处于正中间位置的数据为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称正中间位置两个数的平均数为这组数据的中位数，它反映数据的中等水平，不受极端数值的影响。众数则是一组数据中出现次数最多的数据，它反映数据的集中程度。我们将这组数据按照从小到大的顺序排列后为175，176，183，186，189，201。正中间的一个数据为186，因此中位数为186个。189出现的次数最多，众数为189个。要选出4名参赛者，需要知道这组数据的中位数为186个，所以一分钟跳绳个数大于等于186个的候选人即为参赛者。最后进行跳远队员的选拔。
下表记录了班里4名跳远队员跳远测试成绩的平均数和方差，要选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选谁呢？方差是如何定义的呢？设有n个数据$X_1$，$X_2$，$X_3$，一直到$X_n$，这n个数据与它们的平均数$\overline{X}$的差的平方分别是$(X_1 - \overline{X})^2$，$(X_2 - \overline{X})^2$，一直到$(X_n - \overline{X})^2$。我们用它们的平均数，即用$\frac{1}{n}×[(X_1 - \overline{X})^2 + (X_2 - \overline{X})^2 + \cdots + (X_n - \overline{X})^2]$来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作$s^2$。方差越大，数据的波动就越大，反之也成立。
通过比较，我们发现王浩瀚和刘昊然跳远成绩的平均数相同且最高，而王浩瀚同学跳远成绩的方差小，这说明他的成绩比较稳定。要想选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，非王浩瀚莫属。下面请看练习。
例一，某企业1 - 5月份利润的变化情况如图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是：A选项，1 - 3月份利润的平均数是120万元；B选项，1 - 5月份利润的总数是130万元；C选项，1 - 5月份利润的中位数为120万元；D选项，1 - 2月份利润的增长快于2 - 3月份利润的增长。通过观察右图我们可知，1 - 3月份利润的平均数为$(100 + 110 + 130)÷3 = \frac{340}{3}$万元，故A选项错误。1 - 5月份的利润分别为100万元、110万元、130万元、115万元、130万元，130万元出现的次数最多，所以众数为130万元。将利润按从小到大的顺序排列后，位于正中间的一个数为115万元，故中位数为115万元，C选项错误。1 - 2月份利润的增长率为$(110 - 100)÷100 = 10%$，2 - 3月份利润的增长率为$(130 - 110)÷110≈18%$。很明显，1 - 2月份利润的增长慢于2 - 3月份利润的增长，D选项错误，因此该题的答案为B。
例二，某市在开展节约用水活动中，对某小区200户居民家庭用水情况进行统计分析。其中3月份比2月份节约用水情况如下表所示。第一小问，求抽取的200户家庭节水量的平均数、中位数和众数各是多少？这200户家庭用水量的平均数通过计算为1.6立方米。将数据排序后，第100个数和第101个数皆为1.5立方米，则中位数为1.5立方米。1.5出现的次数最多，所以众数为1.5立方米。
第二小问，根据以上数据估计，某市100万户居民家庭3月份比2月份的节水量是多少？我们用样本平均数来估计总体平均数，可得该市100万户居民3月份比2月份的节水量为100万×1.6立方米 = 160万立方米。同学们，节约用水，人人有责。
第三，为积极响应弘扬传统文化的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛。为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初随机地抽取部分学生调查一周诗词诵背数量。根据调查结果绘制成的统计图，如右图所示。大赛结束后一个月，再次调查这部分学生一周诗词诵背数量，绘制成统计表，如下图。请根据调查的信息分析。
第一小题，活动启动之初，会诵背数量为4首的学生有多少人？学生一周诗词诵背数量的中位数为多少？我们观察左图可知，会诵背数量为5首的人数为20人，所占扇形的圆心角为60度。所以本次调查的学生有$20÷\frac{60}{360}=120$人，会诵背4首的有$120 - 15 - 20 - 16 - 13 - 11 = 45$人。因为共有120人，中位数是第60、61个数的平均数，所以这组数据的中位数是$(4 + 5)÷2 = 4.5$首。