师：通过上节课的学习，我们对平行四边形的性质有了更多了解。这节课，我们继续探索平行四边形。希望通过本节课学习，大家能有以下收获：一是通过观察、猜想、验证、证明的知识生成过程，掌握平行四边形对角线的性质；二是从数学角度运用所学知识，寻求解决现实问题的方法和策略，能综合应用平行四边形的性质进行简单的计算和推理；三是通过性质的证明和问题的解决，进一步体会把平行四边形问题转化为三角形问题来解决的思想方法；四是通过一题多变体会变中有定，分析本质，解决问题后及时反思提炼，形成有用的经验。
这里有个例子，王老先生经过一辈子辛勤劳动，晚年拥有了一块平行四边形的土地。他将这块地以其中一条对角线为边界，分成两个三角形，分别用来养鸡和养鸭。大家想想，这两个三角形全等吗？我们常常把平行四边形的问题转化为三角形的问题来解决。上节课，我们就用一对全等三角形得到了平行四边形边角方面的特殊性质。哪位同学回忆一下，上节课都学到了哪些知识呀？
生：首先是平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，定义既是性质又是判定。如图，当我们知道四边形ABCD是平行四边形，由定义就能得到它的两组对边，AB平行CD，AD平行BC。反过来，若知道一个四边形的两组对边分别平行，由定义就能得到这个四边形是平行四边形。
生：性质一，平行四边形的对边相等。当知道四边形ABCD是平行四边形，就能得到它的两组对边，AB = CD，AD = BC。
生：性质二，平行四边形的对角相等。几何语言为，因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠A = ∠C，∠B = ∠D。和研究三角形的性质一样，研究平行四边形的性质时，我们从数量和位置关系两方面入手。除此之外，上节课我们还学习了平行线间的平行线段相等、平行线间的距离处处相等等相关结论。
师：非常好。王老先生年迈体弱，打算将这块地分给自己的四个孩子，他是这样分的。（展示分地方式）当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分得的地少。王老先生觉得很为难，聪明的同学，你能帮帮他吗？要解决这个问题，难点在于大哥和二哥的土地面积到底相不相等。大哥的三角形土地，若把OC看成底，点D到AC的距离DE就是高，面积就是二者乘积的一半。二哥的三角形土地，若把OA看成底，高也是DE，面积也是二者乘积的一半。这两块地的面积是否相等，完全取决于OC与OA的数量关系。OC与OA合起来不就是平行四边形ABCD的对角线AC吗？我们先来研究平行四边形的对角线有什么特点，再来帮忙也不迟。
师：先做一个平行四边形ABCD，连接AC与BD，交点记为O。类比前面研究平行四边形的边角性质，我们仍然从位置和数量的角度来思考。位置上，对角线AC与BD相交吗？垂直吗？数量上，对角线AC与BD相等吗？还有别的特点吗？大家有想法了吗？
生：这里OA与OC，OB与OD看起来都相等。如果这个想法正确，点O既是AC的中点，又是BD的中点，也就是说对角线AC把BD平分了，BD也把AC平分了，我们就称它们互相平分。于是我们得到猜想，平行四边形对角线互相平分。
师：很好，同学们请用测量的方法初步验证你的猜想，测量的结果是怎样的？我们再用软件来动态地验证一下。先做出线段AB、AD作为平行四边形的两边，过点B作AD的平行线，再过点D作AB的平行线，交点为C，这样就得到了平行四边形ABCD。要看对角线AC与BD是否垂直，我们来量一下∠AOD，它不是直角。再看对角线是否相等，也不相等。最后来验证对角线是否互相平分，度量出线段OA、OC、OB、OD的长度，并绘制成表格。大家看这个平行四边形的对角线互相平分吗？我们让这个平行四边形动起来验证更多的情况。要说明一个命题是假命题，举出一个反例即可，而要说明一个命题是真命题，就算是电脑实验也不能把无穷无尽的图形都验证完，需要理论证明。大家能证明这个猜想是真命题吗？我们要先分析命题的条件和结论，再画出相应的图形并改写已知、求证。这个命题的条件和结论分别是什么？
生：这个命题的已知条件是有一个平行四边形，要证的是它的两条对角线互相平分。
师：非常好。我们画出图形，已知如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，要证对角线互相平分，也就是要证OA = OC，OB = OD。怎么证明呢？想证线段相等，我们可以证线段所在的三角形全等，从而把解决四边形的问题转化为解决三角形的问题。图中有几对全等三角形啊？
生：共有4对，分别是△ABD与△CDB、△ABC与△CDA、△COD与△AOB、△AOD与△COB。
师：要证明OA = OC，OB = OD，你会选择什么？方案3和方案4都可以，只要能证出方案三或方案四中的任何一对三角形全等，都能通过全等三角形的对应边相等证得结论。我们以方案3为例来证△COD与△AOB全等。要证三角形全等，首先要有边的条件，而由平行四边形的性质，我们不难得到AB = CD。有了边再来找角，因为平行四边形的对边AB与CD平行，所以内错角∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，这样我们就能用角边角来证明这两个三角形全等。当然如果你用了对顶角相等作为已知条件来证全等，依据就是角角边。同学们，思路也是这样的吗？来写出证明过程。
生：先由平行四边形的定义和性质得到AB与CD的数量关系和位置关系。平行四边形ABCD中，CD = AB，CD∥AB，再由平行得到内错角相等。所以∠1 = ∠2，∠3 = ∠4。我们用角边角来证全等。在△OCD与△OAB中，∠1 = ∠2，CD = AB，∠3 = ∠4，所以△OCD≌△OAB。最后由全等三角形的对应边相等得，OA = OC，OB = OD。
师：猜想被证明了，我们又得到了一条平行四边形对角线方面的性质：平行四边形的对角线互相平分。如图，当我们知道四边形ABCD是平行四边形，就可以得到OA = OC，OB = OD的结论。王老先生还在等我们帮忙呢，大家想好怎么解释了吗？
生：大哥和三弟分得的地全等，面积自然相等。二哥和四弟分得的地也全等，没什么好争的。前面已经分析到大哥的△COD的面积等于$\frac{1}{2}$OC×DE，二哥的△AOD的面积等于$\frac{1}{2}$OA×DE。由平行四边形的对角线互相平分，我们可得OA = OC。所以大哥二哥分得的土地面积也相等，四兄弟分得的土地面积都相等，确实没什么好吵的。
生：老师，我们之前不是学过三角形的中线平分三角形面积的吗？平行四边形的对角线互相平分，那么图中DO不就是△ACD的中线吗？△COD的面积就等于△AOD的面积。同样的道理，△ABD的中线是AO，△ABC中线是BO，△BCD的中线则是CO。所以兄弟四个分得的土地面积相等。