师：同学们好，今天我们继续学习19.3矩形、菱形、正方形。前面已学过矩形和菱形，现在一起回顾下它们的定义、性质和判定。有一个角是直角的平行四边形叫矩形，矩形有两个性质：一是矩形的四个角都是直角；二是矩形的对角线相等。那如何判定一个四边形是矩形呢？可以通过矩形定义判定，也能依据以下两个定理：定理一，对角线相等的平行四边形是矩形；定理二，三个角是直角的四边形是矩形。
对于菱形，有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。菱形也有两个性质：一是菱形的四条边都相等；二是菱形的对角线互相垂直。同样，判定一个四边形是否为菱形，可用菱形定义，也能借助下面两个定理：定理一，四边都相等的四边形是菱形；定理二，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
在生活中，除了矩形、菱形，还有一种特殊四边形。看，这是魔方，注意观察它的一个面，是什么图形？对，是正方形。那正方形是我们学过哪种图形的特例呢？正方形是矩形的特例，也是菱形的特例。同学们能否类比矩形和菱形的定义，给出正方形的定义？
生：把有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。
师：非常好。那正方形有哪些性质呢？因为正方形是特殊的矩形、菱形，更是特殊的平行四边形，所以它具有以上图形所有性质。正方形四条边都相等，四个角都是直角，且对角线互相平分、垂直又相等。概括起来就是正方形的两个性质：性质一，正方形四条边都相等，四个角都是直角；性质二，正方形对角线相等且互相垂直平分。我们了解了正方形定义和性质，那如何判定一个四边形是正方形呢？和矩形、菱形一样，可把正方形定义当作一种判定方法。若一个四边形满足有一个角是直角、有一组邻边相等且是平行四边形，那这个四边形就是正方形。下面来看这道题。
例7，如图，点A'、B'、C'、D'分别是正方形ABCD四条边上的点，且AA' = BB' = CC' = DD' 。求证四边形A'B'C'D'是正方形。由已知条件可知，四边形ABCD是正方形，根据正方形性质，它的四个角都是直角，四条边都相等。又因题目给出AA' = BB' = CC' = DD' ，所以每条边上剩下的线段也相等。由此可得图中4个直角三角形全等，所以A'B' = B'C' = C'D' = D'A' ，这样就证明出四边形A'B'C'D'是菱形。接下来该怎么证明这个菱形是正方形呢？
生：在正方形定义中，有一组邻边相等的平行四边形指的就是菱形，所以只需证明这个菱形中有一个角是直角。
师：非常棒。因为三角形全等，所以∠1 = ∠3 。又因为∠1 + ∠2 = 90°，所以∠2 + ∠3 = 90°，所以∠D'A'B' = 90°，这样就证明出四边形A'B'C'D'是正方形。同学们能根据解题思路，在草稿本上完成证明过程吗？
（同学们完成后）
师：我们看看证明过程跟老师一样吗？证明：因为四边形ABCD是正方形，所以四条边都相等。又因为AA' = BB' = CC' = DD' ，所以AD' = BA' = CB' = DC' 。因为∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°，根据边角边可得出这四个三角形全等，所以它们对应的斜边相等，所以四边形A'B'C'D'是菱形。又因为∠1 = ∠3 ，∠1 + ∠2 = 90°，所以∠2 + ∠3 = 90°，所以∠D'A'B' = 90°，所以四边形A'B'C'D'是正方形。我们梳理下证明过程，先证了什么，再证了什么，最后得到什么？
生：先证这个四边形是菱形，再证菱形中有一个角等于90°，从而证出该四边形是正方形。
师：对于本题，同学们还有其他解题思路吗？在正方形定义中，有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以可以先证出四边形A'B'C'D'为矩形，再证它有一组邻边相等。用这种方法怎么证明这道题呢？
生：在刚才证明方法中已推出∠D'A'B' = 90°，同理可得这个四边形中有另外两个直角，所以该四边形是矩形。又因为三角形全等能得到一组邻边相等，所以四边形A'B'C'D'是正方形。
师：非常好，关于此种证明方法，请同学们课后独立完成。在刚才这题中，用不同方法证明了四边形是正方形，从中学会了正方形的几种判定方法。可以根据定义先证明一个四边形是平行四边形，再证明该平行四边形中有一个角是直角且有一组邻边相等，满足这些条件的四边形就是正方形；或者先证明一个四边形为菱形，再证明该菱形中有一个角是直角，满足这两个条件的四边形也是正方形，概括来说就是有一个角是直角的菱形是正方形；还可以先证明一个四边形是矩形，再证明该矩形中有一组邻边相等，即有一组邻边相等的矩形是正方形。这三种方法都可作为正方形的判定。在这三种方法中，把一个四边形证明为平行四边形、菱形或矩形后，都是利用边或角的特点证明它是正方形。那能否利用对角线来判定呢？如果一个四边形中的对角线满足下面条件时，请同学们判断一下这种四边形是否是正方形。