师：亲爱的同学们，大家好！今天我们继续学习第19.3节。前几节课我们已经学习了矩形、平行四边形的相关内容，首先，我们一起来回顾一下这些知识。同学们，你们还记得平行四边形的边角以及对角线的相关性质吗？
生：平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分。
师：那么矩形呢？
生：矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相平分且相等。
师：非常好！矩形除了具备平行四边形所有的性质之外，还具有四个角都是直角、对角线相等这两个特殊的性质，所以矩形又叫做特殊的平行四边形。在这里，我们将平行四边形的角特殊化之后，它变成了矩形。同学们，请你开动脑筋想一想，在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，使得一组邻边相等，能不能得到一个特殊的平行四边形呢？
生：可以。
师：像这种有一组邻边相等的平行四边形，就是我们今天学习的新内容——菱形。菱形的概念表示方法为菱形ABCD或平行四边形ABCD，且AB = BC。同学们，你们在生活中都看到过哪些菱形呢？
生：家里小区的伸缩门、中国结、三菱牌汽车的车标、毛衣上的菱形图案……
师：生活中的菱形实在是太多了。接下来，请每位同学拿出一张白纸、一把剪刀，你能利用折纸剪切的办法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片吗？
（同学们动手操作）
师：大家都非常棒！我看到有同学剪得很漂亮，他是这样做的：将一张长方形的纸对折，再对折，然后沿图中的虚线剪下，展开之后就是一个完美的菱形。请大家在你的菱形纸片上画出它的对角线，然后观察一下菱形的边、角以及对角线，想一想它们都有哪些特殊的性质呢？
生：菱形具有平行四边形具备的所有性质，对边平行且相等，对角线互相平分。
师：这些都不够特殊，还有哪些特殊的性质呢？请大家大胆地猜想。
生：菱形四条边都相等，对角线互相垂直。
师：任何的猜想都需要严谨的证明，成立之后才能直接运用到我们今后的学习生活中。那还等什么呢？就让我们一起来验证它们吧。首先我们来看第一个猜想：菱形的四条边都相等。我们先将文字命题转化成数学语言，已知四边形ABCD是菱形，求证AB = BC = CD = AD。首先我们一起来分析一下这一题，要证的是边的性质，我们可以根据菱形的概念，有一组邻边相等，比如说AD = CD。接着我们还想到，现在我们能用的只能是平行四边形边的性质，平行四边形两组对边相等，所以有AD = BC，CD = AB，然后我们等量代换一下，AB、BC、CD、AD不就联等了吗？接下来我们来整理一下证明过程。
（板书证明过程）
因为四边形ABCD是菱形，所以DA = CD。
因为AD = BC，CD = AB，所以AB = BC = CD = DA。
这就是我们今天学习的菱形的性质一：菱形的四条边都相等。
接下来我们来看一看第二个猜想：菱形的对角线互相垂直。同样的，先将文字命题转化成数学语言，已知四边形ABCD是菱形，求证AC⊥BD。我们一起来分析一下，根据菱形的定义，有一组邻边相等，比如说AB = AD。现在我们能用的平行四边形对角线的性质是对角线互相平分，所以有OB = OD，OA = OC。想到这，有细心的同学很快就注意到，三角形ABD是等腰三角形，而OA不就是BD边上的中线吗？然后我们根据等腰三角形三线合一，OA⊥BD，也就是AC⊥BD。
（板书证明过程）
因为四边形ABCD是菱形，所以AB = AD（菱形的定义）。
所以OB = OD（平行四边形对角线互相平分）。
所以AC⊥BD（等腰三角形三线合一）。
这就是我们今天学习的菱形的性质二：菱形的对角线互相垂直。同学们，你学会了吗？学以致用，现在就让我们一起用所学的知识来帮我们解决实际的问题吧。我们来看一下例题，已知菱形的两条对角线长分别为a、b，求菱形的面积。首先我们画出菱形ABCD，设菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，AC = a，BD = b。看到求菱形的面积，有反应快的同学马上就说，用平行四边形底乘以高不就直接解决了吗？但一审题又发现题目中没有直接给出边长和高，动笔一求又发现求起来比较繁琐。这时候细心的同学就悟出，既然只给了两条对角线的长，根据刚刚证明的性质2，菱形对角线互相垂直，也就是AC⊥BD，我们可以求出三角形ABC与三角形ACD的面积，那么加起来之后不就是我们要求的菱形的面积吗？我们来整理一下。
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD。
所以菱形ABCD的面积 = 三角形ABC的面积 + 三角形ACD的面积
= 1/2AC×BO + 1/2AC×OD
= 1/2AC×(BO + OD)
= 1/2AC×BD
= 1/2ab。
我们总结一下，发现菱形的面积除了常规方法底乘以高之外，还可以用对角线乘积的一半来计算。同学们，是不是所有的四边形都能够用对角线乘积的一半来求它的面积呢？
生：不是。
师：那么图上的这个四边形，请大家思考一下。
生：可以，这个图形当中AC和BD垂直。用刚才例题当中的思路，三角形ABD的面积加上三角形BCD的面积，就是四边形ABCD的面积。它等于1/2BD×AO + 1/2BD×OC = 1/2BD×(AO + OC) = 1/2BD×AC。
师：同学们是不是很惊喜呀？也就是说任意四边形只要对角线互相垂直，那么面积就等于两条对角线乘积的一半。希望大家能够将这个结论积极地运用到我们今后的学习生活中。
我们再来看一个辩试题，已知菱形的一条对角线长为10厘米，边长为13厘米，求菱形的面积。首先画出菱形ABCD。设菱形ABCD两条对角线AC与BD相交于点O，AC = 10厘米，AB = 13厘米。
我们一起来分析一下，同学们先别急着做题，我们再仔细地研究一下菱形。我们知道菱形的四条边都相等，对角线互相平分且垂直。我们观察一下三角形AOB有什么特点呢？
生：它是直角三角形。
师：那么三角形AOD也是，三角形BOC、三角形COD都是。那这四个直角三角形之间又有什么样的关系呢？
生：它们全等。
师：这些结论肯定能对我们今后学习有很大的帮助。
我们再来看一看题目，如果此题我们用对角线乘积的一半，也就是1/2AC×BD来求面积的话，由于AC已知等于10厘米，我们必须求出BD的长。我们看一下直角三角形AOB，在这个直角三角形当中，AB已知等于13厘米，OA等于1/2AC = 5厘米。有同学马上就反应过来，OB也能求。根据勾股定理，它就等于根号下AB2 - OA2 ，OB求出来了，BD = 2OB，那么问题就解决了。接下来我们一起来整理一下。