师：同学们好，今天这节课我们一起来学习矩形、菱形、正方形的第二课时——矩形的判定。首先，我们一起来复习回顾上一节课所学习的内容，请同学们回答问题。第一，矩形是怎样定义的？
生：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
师：第二个问题，矩形有哪些性质呢？我们知道矩形是特殊的平行四边形，我们从边、角、对角线这三个方面概括起来。
生：矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相平分且相等。
师：那么我们如何去判定一个四边形是矩形呢？通过前面的学习，我们知道任何一个图形的定义既是它的一个性质，也是它的一个最基本的判定方法。矩形的定义是有一个角是直角的平行四边形是矩形。知道是平行四边形，再加上其中一个内角是直角，这两个条件就可以判定这个四边形是矩形。也就是说在平行四边形ABCD中，加上其中一个内角，如∠A = 90°，那么用这两个条件我们共同推出平行四边形ABCD是矩形。因此，我们就可以把矩形的定义作为矩形的第一个判定方法。
那么除此之外，矩形还有哪些其他的判定方法呢？同学们，我们一起来研究。请看，木工师傅在制作窗框后，需要检测所制作的窗框是否是矩形，在他只带一把卷尺的情况下，需要测量哪些数据？测量的根据又是什么呢？同学们，你能帮他想一想办法吗？其实在实际操作当中，木工师傅是这样做的，他不仅要度量窗框的两组对边是否相等，在量得两组对边分别相等的前提下，接着还需要量一量这个窗框的两条对角线的长度，如果对角线的长也相等，那么窗框就一定是矩形。你们知道这其中的道理吗？工人师傅在操作的过程当中进行了两次测量，由第一次量得两组对边分别相等，你们得到怎样的结论？
生：可以得出这个窗框是平行四边形。
师：第二次又量得对角线的长也相等，那么木工师傅就通过他的经验判断出这个窗框是矩形。由此同学们可以得到怎样的猜想呢？
生：对角线相等的平行四边形是矩形。
师：下面我们就对这个猜想进行一下论证。求证：对角线相等的平行四边形是矩形。我们根据题意画出图形，写出已知、求证。已知在平行四边形ABCD中，AC = BD，求证平行四边形ABCD是矩形。我们目前学习的矩形的判定方法只有定义，强调有一个角是直角的平行四边形是矩形，需要两个条件。那么这里面已经有条件知道它是平行四边形了，那么我们只要证明其中一个内角是90°就可以了，我们选择∠ABC来证明。
我们如何证明∠ABC = 90°呢？由平行四边形的性质可以知道，AB∥DC，所以∠ABC + ∠DCB = 180°。那么要证∠ABC = 90°，不就是证明∠ABC = ∠DCB吗？那又如何证明这两个角相等呢？根据以往的经验，我们就是证明这两个角所在的三角形全等，即△ABC≌△DCB。
我们再来看一看如何证明全等？由平行四边形性质可知，对边平行，也就是AB = DC，图形当中还隐含着一个条件——公共边BC。再加上题目的已知条件AC = BD。那么由标注很明显地看得出来，这两个三角形全等是利用边边边（SSS）进行判定的。由此我们就得出∠ABC = ∠DCB，再通过互补就能证出各为90°了，那么问题就得以解决。下面我们就把刚才的分析过程整理一下，规范地写出证明过程。
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB = DC。又因为AC = DB，BC = CB，所以△ABC≌△DCB（SSS），所以∠ABC = ∠DCB。又因为AB∥CD，所以∠ABC + ∠DCB = 180°，所以∠ABC = ∠DCB = 90°。这里面有平行四边形，再加上其中一个内角90°，所以就得出平行四边形ABCD是矩形。因此通过论证我们就可以得到这句话是一定成立的。
那么我们就得到了矩形的第二种判定方法，即矩形的判定定理一：对角线相等的平行四边形是矩形。也就是说在四边形ABCD中，如果知道四边形ABCD是平行四边形，再加上AC = BD这两个条件，就可以共同推出四边形ABCD是矩形。我们用集合语言是这样描述的，在平行四边形ABCD中，因为AC = BD，所以平行四边形ABCD是矩形。下面我们就用这个定理来解决一个问题。
同学们请看，已知如图，在△ABC中，AB = AC，点D是AC中点，直线AE∥BC，过点D作EF∥AB，分别交AE、BC于E、F两点。求证四边形AECF是矩形。这里面有四个条件：AB = AC，点D是AC的中点，AE∥BC，AB∥EF。那么同学们结合图形，然后对照条件认真地分析一下。
下面我们一起来分析。要证四边形AECF是矩形，根据判定定理一，对角线相等的平行四边形是矩形，我们就要证四边形AECF是平行四边形且对角线AC = EF这两个条件成立。那么要证AECF是平行四边形，我们结合图形和条件，就要证AE∥FC和AE = FC，用一组对边平行且相等来论证这个平行四边形。
由AE∥BC这个条件可以看出AE∥FC，很显然这是已知条件。那么要证AE = FC，我们根据以往的经验就要证它们所在的三角形全等，即△ADE≌△CDF。那这两个三角形全等又如何证明呢？我们看图，由AE∥BC，两直线平行内错角相等，可以得出∠1 = ∠2。又由条件点D是AC的中点，可以得到AD = CD。再加上图形当中隐含的条件——对顶角相等，即∠ADE = ∠CDF。那么很显然这里面就可以利用角边角（ASA）对这两个三角形的全等进行判定。
那么第一个问题就得以解决，下面我们再来证明对角线AC = EF。由条件可以看得出来，AC = AB，因此要证AC = EF，就要证AB = EF。那么结合图形来看，要证AB = EF，其实就要证四边形ABFE是平行四边形。
而平行四边形的条件从题目的已知条件当中就可以直接看出来，由AE∥BC，AB∥EF，那么这里面根据平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形就可以进行判定了。那这里面既证出了AECF是平行四边形，又证出了对角线相等，因此就可以对这个矩形进行判定了。
好，下面我们就把刚才的逆推过程整理一下，规范地写出证明过程。
证明：因为AE∥BC，所以∠1 = ∠2。又因为点D是AC的中点，所以AD = CD。在△ADE与△CDF中，因为∠1 = ∠2，AD = CD，∠ADE = ∠CDF，所以△ADE≌△CDF（ASA），所以AE = FC，所以四边形AECF是平行四边形。又因为AE∥BC，EF∥AB，所以四边形ABFE是平行四边形，所以EF = AB。又因为AC = AB，这里面就根据等量代换得出EF = AC，所以四边形AECF是矩形。